Proposisi Majemuk

Pendahuluan Perangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi atomik menjadi proposisi majemuk. Untuk menghindari kesalahan tafsir akibat adanya ambiguitas, proposisi majemuk yang akan dikerjakan lebih dulu diberi tanda kurung. Proposisi-proposisi dengan perangkai yang berada di dalam tanda kurung disebut fully parenthesized expression (fpe).

Pendahuluan Proposisi majemuk yang rumit dapat dipecah menjadi subekspresi-subekspresi. Subekspresi menjadi subekspresi, dst. Teknik tersebut dinamakan Parsing. Mungkin saja proposisi majemuk tidak memiliki tanda kurung. Oleh karena itu urutan proses pengerjaan harus ditentukan lebih dahulu dan ada ketentuan yang mengatur pengurutan tersebut.

Ekspresi Logika Ekspresi logika: proposisi-proposisi yang dibangun dengan variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen. Contoh: AB, A. Proposisi atomik: berisi satu variabel proposisional atau satu konstanta proposisional Proposisi majemuk: berisi minimum satu perangkai, dengan lebih satu atau lebih variabel proposisional.

Ekspresi Logika Contoh proposisi majemuk: Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah istimewa Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional: A = Dewi rajin belajar B = Dewi lulus ujian C = Dewi mendapat hadiah istimewa Dalam bentuk ekspresi logika menjadi: ABC Persoalan: ada dua kemungkinan pengerjaan ((AB)C) atau (A(BC)); keduanya menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.

Ekspresi Logika Pada contoh tersebut, ekspresi logika yang tepat adalah: A(BC). Hal ini disebabkan pernyataan “Dewi lulus ujian” dan “Dewi mendapat hadiah istimewa” merupakan akibat dari “Dewi rajin belajar”. Sedangkan ekspresi (AB)C dapat dibaca pernyataan “Dewi mendapat hadiah istimewa” tidak berhubungan dengan “Dewi rajin belajar”, yang menjadi akibat dari “Dewi rajin belajar” hanya “Dewi lulus ujian” saja.

Skema Skema (schema) merupakan satu cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang rumit dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan suatu subekspresi. Suatu ekspresi logika tertentu, misalnya (AB) dapat diganti dengan P, sedangkan (AB) dapat diganti dengan Q. Disini P dan Q bukan variabel proposisional karena nilai P dan Q tergantung nilai A dan B. Contoh: P=(AB) dan Q=(AB), maka (PQ) = ((AB)  (AB))

Skop kiri perangkai utama skop kanan Skema Jika ada suatu ekspresi logika (P), maka P disebut skop negasi (scope of negation), dengan perangkai  disebut perangkai logika (main connective) dari (P). Oleh karena itu contoh di atas (slide sebelumnya), yakni (PQ) dapat diuraikan sbb: (PQ) Skop kiri perangkai utama skop kanan (AB)  (AB)

Menganalisis Proposisi Majemuk Sebuah fpe akan mengekspresikan proposisi majemuk. Proposisi majemuk mempunyai subproposisi. Lalu bagaimana cara membuat proposisi majemuk dari pernyataan berikut? Jika Dewi lulus sarjana sistem informasi, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia. Proposisi-proposisi yang membentuk pernyataan di atas adalah konjungsi (kata “tetapi” di tengah kalimat lebih sesuai dengan “dan”) dengan skop kiri dan kanan sbb:

Menganalisis Proposisi Majemuk [1.1] Jika Dewi lulus sarjana sistem informasi, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja. dengan [1.2] Jika tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia. Kedua skop masih berupa proposisi majemuk, dan dapat dipecah lagi menjadi: [1.1.1] Jika Dewi lulus sarjana sistem informasi, [1.1.2] Orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja

Menganalisis Proposisi Majemuk [1.1.2.1] ….? [1.1.2.2] ….? Proposisi [1.2] atau skop kanan dapat dipecah menjadi: [1.2.1] ….? [1.2.2] ….? Teknik memisah-misah kalimat di atas menjadi proposisi atomik disebut teknik parsing, dan hasilnya dapat dilihat dalam bentuk Parse Tree berikut:

Menganalisis Proposisi Majemuk Parse Tree

Menganalisis Proposisi Majemuk Untuk mengubah Parse Tree menjadi ekspresi logika yang berbentuk proposisi majemuk adalah dengan fpe berikut: A= Dewi lulus sarjana sistem informasi B= Orangtua Dewi senang C= Dewi bekerja D= Usaha Dewi sia-sia selanjutnya pernyataan di atas yang berupa proposisi majemuk dapat dibuat fpe sbb: (A(BC))((A)D)

Menganalisis Proposisi Majemuk Salah satu bentuk yang paling banyak dibahas dari ekspresi logika adalah literal. Literal adalah proposisi yang dapat berbentuk A atau A, dengan A adalah variabel proposisional. Kedua ekspresi tersebut, yakni A dan A disebut literal yang saling komplemen atau saling melengkapi (complementary literal).

Aturan Pengurutan Ekspresi-ekspresi logika yang bersifat majemuk dengan banyak subekspresi akan mempunyai banyak tanda kurung, sehingga memungkinkan sulit dibaca dengan mudah. Contoh: ((AB)(AB)) ((A(BA))B) Kedua fpe tersebut berbeda pengerjaannya. Oleh karena itu harus ada aturan untuk memprioritaskan penafsiran hasilnya yang disebut aturan pengurutan (precedence rules)

Aturan Pengurutan Pada masalah perangkai, urutan atau hirarki berdasarkan pada hirarki tertinggi: Terdapat aturan tambahan yaitu: “Jika menjumpai lebih dari satu perangkai pada hirarki yang sama, maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri” Hirarki ke Simbol perangkai Nama perangkai 1  Negasi 2  Konjungsi 3  Disjungsi 4  Implikasi 5  Ekuivalensi

Aturan Pengurutan Contoh: a. (AB), harus dibaca ((A)B) bukan ((AB)) b. ABC, harus dibaca ((AB)C) bukan (A(BC)) c. ABC, harus dibaca …, bukan …. d. ABC, harus dibaca …, bukan…. Misal ada ekspresi sebagai berikut: ABC. Manakah yang dikerjakan lebih dulu? Aturan pengurutan menyebutkan jika hirarkinya sama, maka dilaksanakan mulai dari yang kiri.

Aturan Pengurutan Jadi harus dibaca (AB)C, bukan A(BC). Akan tetapi jika ingin mengerjakan bagian kanan terlebih dahulu, berilah tanda kurung seperti: A(BC). Oleh karena itu, ekspresi majemuk yang berada pada tanda kurung terdalam akan dilaksanakan atau diproses lebih awal dari yang lain.

Ubah pernyataan berikut menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk: - Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu menangkapnya. - Bowo membeli saham dan membeli properti untuk investasi, atau dia dapat menanamkan uang di deposito bank dan menerima bunga. Masukkan tanda kurung ke dalam ekspresi logika berikut sehingga tidak ambigu: (1) ABCD (2) AB  CD

Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan D adalah F Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan D adalah F. Cari nilai kebenaran dari ekspresi logika berikut: (1) A(BC) (2) ((AB)C)  ((AB)(BD)) (3) (AC)  (BD)