LOGIKA Logika mempelajari hubungan antar pernyataan-pernyataan yang berupa kalimat-kalimat atau rumus-rumus, sehingga dapat menentukan apakah suatu pernyataan bernilai benar. Benar tidaknya suatu pernyataan lebih mengarah pada bentuknya; bukan pada arti kalimat. Waniwatining

1. PROPOSISI Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan tersebut disebut Proposisi. Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Waniwatining

Contoh-contoh Proposisi : 6 adalah bilangan genap Soeharto adalah Presiden Indonesia yang pertama. 2 + 2 = 4 Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang. 12 > 19 Hari ini adalah hari Kamis Waniwatining

Contoh-contoh bukan Proposisi: Jam berapa kereta api Argo Bromo berangkat ? Isilah gelas tersebut dengan air. X > 3 Waniwatining

Lambang Proposisi: Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,…. Contoh : p: 6 adalah bilangan genap q: 2 + 2 = 4 r : Hari ini adalah hari Kamis Waniwatining

2. PROPOSISI MAJEMUK Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika yang digunakan adalah : dan (and), atau (or), tidak (not). Waniwatining

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian. Proposisi Majemuk : Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian. Proposisi atomik : Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain. Proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Waniwatining

Tabel Penghubung Proposisi Simbol Arti Dibaca  Negasi Tidak / bukan  Konjungsi Dan  Disjungsi Atau  Implikasi (kondisi tunggal) Jika...maka...atau... hanya jika...  Biimplikasi (kondisi ganda) ...Jika dan hanya jika ... Waniwatining

Konjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p  q , adalah proposisi p dan q. Contoh : p:Hari ini hujan q:Murid-murid tidak sekolah pq : Hari ini hujan dan murid-murid tidak sekolah. Waniwatining

Disjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi pq , adalah proposisi p dan q. Contoh : p:Hari ini hujan q:Hari ini dingin pq : Hari ini hujan atau hari ini dingin. Waniwatining

Negasi ( Ingkaran ) Misalkan p dan q adalah proposisi. Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan dengan notasi p, adalah proposisi tidak p. Contoh : p: Hari ini hujan p: Tidak benar hari ini hujan. Waniwatining

Contoh : p: Pemuda itu tinggi q: Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik. Pemuda itu tinggi dan tampan. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan. Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak tampan. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan. Waniwatining

IMPLIKASI (Proposisi Bersyarat) Simbol  adalah simbol implikasi dibaca “jika . . . maka . . .” atau “ . . . hanya jika . . .”. contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi p  q. Proposisi p disebut hipotesis (anteseden), sedangkan q disebut konklusi (konsekuen). Waniwatining

Biimplikasi (dwi syarat) Simbol  adalah simbol bi-implikasi dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”. Jika terdapat proposisi majemuk “m jika dan hanya jika n”, maka dapat ditulis dalam bentuk simbol m  n atau dalam bentuk (m  n)  (m  n). Waniwatining

TABEL KEBENARAN Konjungsi p  q bernilai bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah. p q p  q T F Waniwatining

Disjungsi p  q bernilai salah, jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar. F Waniwatining

Selain itu nilai kebenarannya salah. Proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai kebenaran benar apabila nilai kebenaran hipotesis sama dengan nilai kebenaran konklusi atau nilai kebenaran hipotesis bernilai salah. Selain itu nilai kebenarannya salah. p q pq T F Waniwatining

Selain itu nilai kebenarannya salah. Proposisi bi-implikasi p  q, mempunyai nilai kebenaran benar (T) apabila nilai kebenaran p dan q sama. Selain itu nilai kebenarannya salah. p q pq T F Waniwatining

3. EKUIVALENSI DUA PROPOSISI Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen secara logika apabila kedua proposisi tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika proposisi p ekivalen secara logika dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb. dapat ditulis sebagai p  q atau dapat menggunakan lambang bi-implikasi seperti p  q. Waniwatining

4.Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika No Hukum Bentuk ekuivalensi 1 Komutatif p  q  q  p p  q  q  p 2 Asosiatif (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) 3 Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 4 Identitas p  True  p p  False  p Waniwatining

5 Ikatan p  True  True p  False  False 6 Negasi p   True 7 Negasi Ganda  p 8 Hukum Idempoten p  p  p p  p  p Waniwatining

9 Hukum De Morgan  10 Penyerapan p  ( p  q )  p p  ( p  q )  p 11 Negasi True dan False 12   (p  q)  (p  q)  (p  q)  (q  p) Waniwatining

5. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. Kontradiksi selalu mempunyai nilai kebenaran yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. Waniwatining

Contoh 1 : Dengan menggunakan tabel kebenaran buktikan bahwa ( p  q )  q adalah tautologi ! Jawab : p q ( p  q ) ( p  q )  q T F Waniwatining

6. Konvers, Invers dan Kontraposisi. Jika terdapat implikasi p  q Maka : konversnya adalah : q  p inversnya adalah :  p   q kontraposisinya adalah :  q   p Contoh Jika n adalah bilangan prima  3, maka n adalah bilangan ganjil. Tentukan konvers, invers & kontraposisinya ! Waniwatining

Misal p : n adalah bilangan prima  3 q : n adalah bilangan ganjil Jawab Misal p : n adalah bilangan prima  3 q : n adalah bilangan ganjil Implikasi: p  q jika n adalah bilangan prima  3 maka n adalah bilangan ganjil. Konvers : q  p jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan prima  3. Waniwatining

jika n bukan bilangan prima  3 maka n bukan bilangan ganjil Invers : p   q jika n bukan bilangan prima  3 maka n bukan bilangan ganjil Kontraposisi : q  p jika n bukan bilangan ganjil maka n bukan bilangan prima  3. Waniwatining

7. Inverensi Logika 7.1. Validitas suatu argumen Argumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan. Pernyataan terakhir disebut kesimpulan, sedangkan pernyataan sebelumnya disebut hipotesa atau premis. Waniwatining

Hipotesa atau premis dan kesimpulan disebut argumen. Jika dari suatu argumen semua hipotesanya benar dan kesimpulannya juga benar maka dikatakan argumen tersebut valid. Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar dan kesimpulan nya salah, maka argumen tersebut tidak valid. Waniwatining

tuntunan untuk menentukan apakah suatu argumen dikatakan valid atau invalid. Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan. Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai kebenaran hipotesa bernilai T (benar). Jika semua kesimpulan pada baris kritis benar, maka argumen bernilai valid, jika ada kesimpulan pada baris kritis salah maka argumen invalid. Waniwatining

7.2. Metode-metode Inferensi 7.2.1. Modus Ponens Misal hipotesis (anteseden) p pada implikasi p  q bernilai benar. Agar proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai benar, maka q harus bernilai benar. Secara simbolik modus Ponens dapat dinyatakan sebagai berikut. Waniwatining

7.2.2. Modus Tollens modus Tollens mirip dengan modus Ponens. Bedanya terletak pada hipotesa kedua dan kesimpulan. Hipotesa kedua dan kesimpulan merupakan negasi dari masing-masing proposisi pada hipotesa pertama. Dalam bentuk simbol modus Tollens dapat ditulis sebagai berikut : Waniwatining

7.2.3. Penambahan Disjungtif Contoh 1.12 Ali menguasai bahasa Pascal. Ali menguasai bahasa Pascal atau Basic 7.2.4. Penyederhanaan Konjungtif Contoh 1.13 Ali menguasai bahasa Pascal dan bahasa Basic Ali menguasai bahasa Pascal Waniwatining

Silogisme Disjungtif : Silogisme merupakan bentuk inferensi (penyimpulan ) tidak langsung yang dilakukan dengan cara menyimpulkan dua hipotesis yang dihubungkan dengan cara tertentu. Silogisme Disjungtif : peristiwa memilih diantara dua pilihan. Jika kita harus memilih diantara p atau q dan misalnya kita tidak memilih p tentulah pilihan kita adalah q. Waniwatining

Silogisme Hipotesis Jika nilai kebenaran dari implikasi p  q dan q  r adalah benar, maka implikasi p  r bernilai benar pula. Contoh 1.15 Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka bilangan tersebut habis dibagi 3. Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 3 maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 Waniwatining

7.2.6. Dilema Dilema mempunyai bentuk campuran antara silogisme disjungtif dan silogisme hipotesis. Contoh : Menurut ramalan, tahun depan negara kita akan mengalami kemarau panjang atau banjir. Jika kemarau panjang hasil pertanian gagal. Jika banjir hasil pertanian gagal. Tahun depan hasil pertanian gagal. Waniwatining