MODUL IX (n1 n2)(n1 n2 1) 2 UJI NON PARAMETRIK (2) 3. UJI JUMLAH PERINGKAT WILCOXON Dalam pasal ini kita akan mempelajari prosedur nonparametrik yang sangat sederhana untuk membandingkan nilaitengah dua populasi bukan normal yang kontinu, bila dua contoh yang bebas diambil dari kedua populasi itu. Uji nonparametrik yang merupakan alternatif bagi uji t dua contoh disebut uji jumlah peringkat Wilcoxon atau uji dua contoh Wilcoxon. Misalkan akan diuji hipotesis nol bahwa µ1 = µ2 lawan suatu alternatif yang diinginkan. Pertama-tama kita tarik satu contoh acak dari masing-masing populasi. Misalkan n1 adalah ukuran contoh yang lebih kecil dan n2 ukuran contoh yang lebih besar. Gabungkan kedua contoh itu dan urutkan pengamatannya dari yang terkecil sampai terbesar dan berikan peringkat 1,2,…,n1 + n2 pada setiap pengamatan. Bila terdapat dua atau lebih pengamatan yang sama, berikan peringkat rata-ratanya. Lambangkan jumlah peringkat pada contoh yang berukuran lebih kecil dengan w1 . Begitu pula w2 adalah jumlah peringkat pada contoh yang lebih besar. Total w1 + w2 bergantung hanya pada banyaknya pengamatan dalam kedua contoh. Secara umum : (n1 n2)(n1 n2 1) 2 w1 + w2 = jumlah semua bilangan asli 1,2,…,n1 + n2 diambil berulang-ulang, maka kita dapat membayangkan bahwa w1 dan w2 dapat dipandang sebagai nilai perubah acak W1 dan W2. Hipotesis nol µ1 = µ2 kita tolak dan alternatifnya µ1 < µ2 kita terima hanya bila w1 kecil dan w2 besar. Begitu pula alternatifnya µ1 > µ2 diterima hanya bila w1 besar dan w2 kecil. Untuk uji dua arah kita akan menolak H0 dan menerima H1 , w1 bila kecil dan w2 besar atau bila w1 besar dan w2 kecil. Alternatif µ1 < µ2 diterima bila w2 cukup kecil dan alternatif µ1 ≠ µ2 diterima bila yang terkecil di antara w1 dan w2 cukup kecil. http://www.mercubuana.ac.id

Kadar nikotin dua rokok cap A dan B dalam milligram, adalah sbb : Merk A 2,1 4,0 6,3 5,4 4,8 3,7 6,1 3,3 Merk B 4,1 0,6 3,1 22,5 4,0 6,2 1,6 2,2 1,9 5,4 Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa rata-rata kadar nikotin kedua rokok itu sama lawan alternatifnya bahwa kadar nikotin keduanya tidak sama. Jawab : 1. H0 : µ1 = µ2 2. H1 : µ1 ≠ µ2 3. α = 0,05 4. Wilayah kritik : u ≤ 17 (dari table A.9) 5. Perhitungan : susun pengamtannya dari yang terkecil sampai yang terbesar dan berikan peringkat dari 1 sampai 18 Dari asal Peringkat 0,6 1,6 1,9 2,1 2,2 2,5 3,1 3,3 3,7 4,0 4,1 4,8 5,4 6,1 6,2 6,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,5 12 13 14,5 16 17 18 Peringkat bagi pengamatan yang termasuk dalam contoh yang lebih kecil , sekarang : Wi = 4 + 8 + 9 + 10,5 + 13 + 14,5 + 16 + 18 = 93 Dan http://www.mercubuana.ac.id

12 k 12 k in n - 3 (n+1) in n - 3 (n+1) R n(n 1) r n(n 1) Uji Kruskal-Wallis disebut juga uji H Kruskal Wallis merupakan generalisasi uji dua contoh Wilcoxon untuk k > 2 contoh. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol bahwa k contoh bebas itu berasal dari populasi yang identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan beberapa nilaitengah dalam analisis ragam bila kita ingin menghindar dari asumsi bahwa contoh diambil dari populasi normal. Misalkan n1 ( i = 1,2,..k ) adalah ukuran contoh ke-i. Pertama-tama gabungkan semua contoh dan susunlah n = n1 + n2 + …+ nk pengamatan itu dari yang terkecil sampai yang terbesar dan kemudian tentukan peringkatnya masing-masing. Dalam hal ada beberapa nilai pengamatan yang sama, berikan peringkat rata-ratanya. Lambangkan jumlah peringkat dalam contoh ke-I dengan R. Selanjutnya perhatikan statistik 12 n(n 1) k in n - 3 (n+1) R H= Yang dapat dihampiri dengan sangat baik oleh sebaran khi-kuadrat dengan k-1 derajat bebas bila H0 benar dan bila setiap contoh sekurang-kurangnya terdiri atas 5 pengamatan. Perhatikan bahwa nilai bagi H adalah : 12 n(n 1) k in n - 3 (n+1) r h= dengan R1 bernilai r1, R2 bernilai r2 dan demikian seterusnya. Kenyataan bahwa nilai h besar bila contoh-contoh itu berasal dari populasi yang tidak identik memungkinkan kita untuk membuat kriteria keputusan bagi pengujian H0. Bila h jatuh dalam wilayah kritik h > 2α dengan v = k – 1 derajat bebas, maka H0 ditolak pada taraf nyata α ; sedangkan bila h jatuh di luar wilayah kritik, terimalah H0 Contoh 6 Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya setelah http://www.mercubuana.ac.id