MONOID, INVERS, KUASIGRUP dan LOOP

TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah struktur aljabar, grupoid, semigrup, monoid, kuasigrup dan loop

Cakupan Monoid Invers dalam monoid Kuasigrup Loop

MONOID Monoid (G,) adalah himpunan tak kosong dengan operasi “” yang bersifat: Tertutup terhadap operasi “” Asosiatif, (xy)z = x(yz) untuk setiap x,y,zG Ada unkes (kiri=kanan=e), sehingga xe=ex=x, untuk setiap xG Beri contoh-contoh monoid dan yang bukan monoid Monoid dapat bersifat komutatif (abelian) atau pun tidak komutatif (non-abelian).

Invers/Regulir (M,) monoid dengan unkes = e disebut: Regulir kiri = punya invers kiri, jika untuk setiap xM ada elemen x′G, sedemikian sehingga x′x=e. Regulir kanan = punya invers kanan, jika untuk setiap xM ada elemen x′G, sedemikian sehingga x  x′ =e. Regulir = punya invers, jika untuk setiap xM ada elemen x′G, sedemikian sehingga x′x = xx′ = e.

GRUP Grup adalah himpunan tak kosong dengan satu operasi  yang bersifat: Tertutup terhadap  Asosiatif untuk operasi  Mempunyai unkes Setiap elemen mempunyai invers (regulir) Grup yang komutatif disebut grup Abelian, dan yang tidak komutatif disebut grup non-Abelian

Mana yang merupakan grup? (sebut yang Abelian) 1.(N,+), (N,), (Z,+), (Z,), (Q,+), (Q,), (R,+), (R,), (C,+), (C,), (2Z,+), (2Z,) 2.Himpunan matriks (22) bilangan bulat dengan operasi penjumlahan matriks. Bila dengan operasi perkalian matriks? 3.Himpunan matriks (22) bilangan riil dengan operasi penjumlahan matriks. Bila dengan operasi perkalian matriks?

Kuasigrup Suatu grupoid adalah kuasigrup jika dan hanya jika setiap persamaan kiri dan kanan dapat dipecahkan dengan jawab tunggal. Mana yang kuasigrup? (C,+),(C,),(R,+),(R,),(R+,),(2Z,+),(Q,+),(Z,+) (C,), bila ab=a+b+ab (C,), bila ab=a2–b

Teorema Dalam kuasigrup berlaku pencoretan kiri dan kanan. Grupoid berhingga adalah kuasigrup jika dan hanya jika memenuhi pencoretan kiri dan kanan. Jadi ciri tabel Cayley: setiap baris dan kolom semua unsurnya berbeda.

Loop Adalah kuasigrup yang mempunyai unkes. Mana yang loop? (C,+),(C,),(R,+),(R,),(R+,),(2Z,+),(Q,+),(Z,+) (C,), bila ab=a+b+ab (C,), bila ab=a2–b

Penutup Monoid: sistem yang tertutup, asosiatif dan mempunyai unsur kesatuan Invers dalam monoid: a1a=unkes, aa1 =unkes Kuasigrup: sistem yang tertutup dan setiap persamaan kiri/kanan mempunyai jawab tunggal Loop: kuasigrup yang mempunyai unkes