Statistik Bisnis 10 – Populasi dan Sampel Dani Leonidas S ,ST.MT

Pendahuluan Populasi Sensus Sampel Statistik Deskriptif Statistik Induktif (inferensial)

Mengapa Sampling ?? Teknik sampling berguna untuk Mereduksi anggota populasi menjadi anggota sampel yang mewakili populasinya Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak Menghemat waktu, biaya, benda uji yang dirusak Mengambil sampel dengan harapan dapat menarik kesimpulan mengenai populasi

Ada dua cara yang digunakan untuk mengetahui parameter populasi: 1. Cara penaksiran (pendugaan) 2. Cara pengujian hipotesis

Penyampelan acak Penyampelan terstrata Penyampelan klaster Penyampelan sistematis

Teori Estimasi atau Menaksir Pendahuluan Diperkirakan setiap harinya toko A dapat menjual antara 30 sampai 60 unit barang X. Dari total barang yang dikirim, kira-kira ada 10 % barang yang dikirimkan tidak sampai kepada alamat yang dituju Jumlah gol yang tercipta pada final piala champio eropa nanti diperkirakan antara 0 sampai 3 Pada hari kerja diantara hari libur, diperkirakan 40 % karyawan tidak masuk (mengambil cuti)

Pendahuluan Apakah sebenarnya yang akan ditaksir menurut statistika?? Segala sifat atau karakteristik yang menjelaskan tentang populasi Menaksir parameter populasi didasarkan pada nilai-nilai statistik sampel yang diambil dari populasi bersangkutan. Menaksir rata-rata populasi µ (myu) dan perbandingan populasi 𝜋 (Phi)

Teori Penaksiran Ada dua cara yang digunakan untuk mengetahui parameter populasi: 1. Cara penaksiran (pendugaan) 2. Cara pengujian hipotesis Dua cara di atas didasarkan pada statistik atau besaran yang dihitung dari sampel sehingga kita harus mengambil sampel dari populasi

PENAKSIRAN PARAMETER Penaksiran adalah menyimpulkan parameter populasi (t) berdasarkan statistik sampel θ (Theta). Θ bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku σ, proporsi p dan sebagainya Penaksir yang baik ialah penaksir yang tak bias dan bervarians minimum. Tak bias → penaksir θ dikatakan tak bias jika rata-rata harga θ yang mungkin sama dengan θ. Bervarians minimum → penaksir dengan varians terkecil diantara semua penaksir yang mungkin untuk parameter yang sama.

Kriteria taksiran (pendugaan) yang baik 1.Tidak bias (Unbiasedness), Artinya statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati parameter populasi penduga 2. Efisiensi (Efficiency), Artinya statistik sampel memiliki deviasi standar yang kecil 3. Konsistensi (Consistency), Artinya jika ukuran sampel meningkat maka statistik sampel akan semakin mendekati parameter populasinya. 4. Kecukupan (Sufficiency), Artinya suatu taksiran dikatakan memiliki kecukupan jika taksiran tersebut dapat memberikan informasi yang cukup mengenai sifat populasinya.

Cara Menaksir Penaksiran titik, jika parameter ditaksir oleh 1 angka tunggal. Misal : µ ditaksir oleh X, X adalah penaksir titik. Penaksiran interval, jika parameter ditaksir oleh harga diantara batas-batas dua harga. Misal: rata-rata tinggi mahasiswa antara 160-166 cm.

Koefisien Kepercayaan Kita juga dapat menduga bahwa tinggi rata-rata orang Indonesia berada dalam selang 155 sampai 169 cm. Makin lebar intervalnya, makin besar kepercayaan atau keyakinan bahwa rata-rata tinggi orang Indonesia yang kita duga berada pada interval tersebut. Artinya, kita lebih percaya selang 155 < θ < 169 dibandingkan dengan selang 160 <θ < 166. Derajat kepercayaan penaksir disebut koefisien kepercayaan yang ditulis dengan α dimana 0 < α < 1 dan dinyatakan dalam bentuk peluang.

Koefisien Kepercayaan Contoh, misalkan P(160 < θ < 166) = 0.95 , itu artinya derajat keyakinan bahwa rata-rata tinggi orang Indonesia berada pada selang 160 sampai 166 adalah 95% Misalkan P(155 < θ < 159) = 0.99, itu artinya derajat keyakinan bahwa rata-rata tinggi orang Indonesia berada pada selang 155 sampai 159 adalah 99%

Selang Kepercayaan Secara umum, dengan mengambil sampel acak secara berulang-ulang, maka kita akan mendapatkan statistik θ sehingga peluang dari interval a < θ < b akan sama dengan nilai tertentu yang diinginkan adalah P(a < θ < b ) = 1- α untuk 0 < α < 1 α disebut koefisien kepercayaan 1- α disebut tingkat atau derajat kepercayaan Selang a < θ < b disebut selang kepercayaan (1- α)100% a dan b disebut batas-batas kepercayaan Jadi bila α = 0.05 diperoleh selang kepercayaan 95%, bila α = 0.01 diperoleh selang kepercayaan 99% Makin besar selang kepercayaan, makin yakin kita bahwa selang tersebut mengandung parameter yang tidak diketahui Dalam statistik, lebih disukai memilih interval yang lebih sempit, tetapi dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Misalnya kita lebih memilih selang 160 < θ < 166 dengan tingkat kepercayaan 95% daripada selang 155 < θ < 169 dengan tingkat kepercayaan 99%

Jadi bila α = 0. 05 diperoleh selang kepercayaan 95%, bila α = 0 Jadi bila α = 0.05 diperoleh selang kepercayaan 95%, bila α = 0.01 diperoleh selang kepercayaan 99% Makin besar selang kepercayaan, makin yakin kita bahwa selang tersebut mengandung parameter yang tidak diketahui Dalam statistik, lebih disukai memilih interval yang lebih sempit, tetapi dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Misalnya kita lebih memilih selang 160 < θ < 166 dengan tingkat kepercayaan 95% daripada selang 155 < θ < 169 dengan tingkat kepercayaan 99%

Intepretasi Selang Kepercayaan Selang kepercayaan 95 % artinya rata-rata hitung sampel untuk ukuran sampel yang ditentukan akan terletak di dalam 1,96 standar deviasi dari rata-rata hitung populasi yang dihipotesakan Selang kepercayaan 99 % artinya rata-rata hitung sampel untuk ukuran sampel yang ditentukan akan terletak di dalam 2,58 standar deviasi dari rata-rata hitung populasi yang dihipotesakan

Menaksir rata-rata Keterangan Populasi Sampel Nilai rata-rata µ 𝑋 Nilai variansi σ S Nilai Proporsi 𝜋 𝑝 𝑋 = 𝑋 𝑛 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑛−1 𝑝 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 𝐷𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑆𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

Menaksir rata-rata µ Misal ada populasi N (µ, σ), akan ditaksir µ. Untuk itu diambil sampel berukuran n dan di hitung 𝑋 dan S maka taksiran untuk µ adalah 𝑋

Simpangan baku σ diketahui dan populasi tidak Terhingga

Contoh Sebuah biro pariwisata di Jakarta mengadakan suatu penelitian tentang kepariwisataan di Indonesia dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata wisatawan asing per kunjungannya di Indonesia. Guna keperluan di atas, suatu sampel random yang terdiri dari 100 wisatawan asing telah dipilih guna diwawancarai dari populasi yang dianggap tidak terhingga. Hasil wawancara tersebut memberikan keterangan: rata-rata pengeluaran per kunjungan sebesar US$ 800 per wisatawan. Jika kita anggap deviasi standar dari pengeluaran semua wisatawan kurang lebih konstan sebesar US$ 120, maka buatlah interval keyakinan sebesar 95%.

Diketahui 𝑋 =800 𝜎 𝑋 =120 n = 100 1 – α = 0.95 Maka 𝑍 𝛼 2 =1,96

𝑍 𝛼 2 =1,96 didapat dari..... α = 1 – 0.95 = 0.05 α/2 = 0.025 1 – α = 0.95 α = 1 – 0.95 = 0.05 α/2 = 0.025 Cari Z dengan luas wilayah di bawah kurva normalnya = 1 – 0.025 = 0.9750 Maka didapat nilai Z nya 1.96

Tabel Normal Lengkap

Interval...

Kesimpulan Rata-rata pengeluaran wisatawan per kunjungan akan berkisar sekitar US$ 776.48 hingga US$ 823.52.

Jika dipakai interval keyakinan 90% ?? 1 – α = 0.90 α = 1 – 0.90 = 0.1 α/2 = 0.05 Cari Z dengan luas wilayah di bawah kurva normalnya = 1 – 0.05 = 0.950 Maka didapat nilai Z nya 1.645

Tabel Normal Lengkap

Jika dipakai interval keyakinan 99% 1 – α = 0.99 α = 1 – 0.99 = 0.01 α/2 = 0.005 Cari Z dengan luas wilayah di bawah kurva normalnya = 1 – 0.005 = 0.995 Maka didapat nilai Z nya 2,575

Tabel Normal Lengkap

Simpangan baku σ diketahui dan populasi terhingga

Faktor koreksi

Contoh populasi Terhingga Andaikan sampel random sebesar n = 64 dan rata-rata sebesar 0,1165 dipilih dari populasi terbatas sebesar N = 300 dan yang diketahui memiliki simpangan baku populasi 0,0120, maka pendugaan parameter rata-rata populasi dengan interval keyakinan sebesar 95,45% dapat dilakukan sebagai berikut:

Diketahui 𝑋 =0.1165 1- α = 95.45 % 𝑍 𝛼 2 =2 𝜎 𝑋 =0,012 n = 64

Pendugaan Interval ( untuk populasi tidak terhingga dan Simpangan Baku tidak diketahui)

Contoh Sebuah sampel random yang terdiri dari 100 mahasiswa telah dipilih dari populasi mahasiswa sebuah universitas. Keseratus mahasiswa di atas telah diberi semacam tes kesehatan guna menentukan angka kuosien kecerdasannya. Angka rata-rata keseratus mahasiswa di atas ternyata sebesar 112 dengan deviasi standar 11. berilah interval keyakinan 95% guna menduga angka rata-rata kuosien kecerdasan seluruh mahasiswa universitas di atas.

Diketahui 𝑋 =112 𝑍 𝛼 2 =1.96 S =11 n = 100

Angka rata-rata kecerdasan seluruh mahasiswa akan terletak antara 109,844 hingga 114,156

Menaksir jika Sampel Berukuran Kecil (n < 30)

Di suatu pabrik tekstil telah diukur 16 buah kayu untuk dasar penaksiran panjang rata-rata tiap kayu yang dihasilkan. Dari 16 kayu yang diukur tadi, ternyata rata-rata panjangnya 54,4 m sedangkan simpangan bakunya 0,8 m. tentukan interval kepercayaan panjang rata-rata sebenarnya untuk tiap kayu yang dihasilkan dengan tingkat kepercayaan 95%. Df (degree of freedom) = n – 1 = 15

Menaksir Proporsi Keterangan Populasi Sampel Nilai rata-rata µ 𝑋 Nilai variansi σ S Nilai Proporsi 𝜋 𝑝 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑛−1 𝑋 = 𝑋 𝑛 𝑝 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 𝐷𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑆𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

Pendugaan Proporsi dengan sampel besar dengan populasi tidak terhingga

Contoh Jawatan kesehatan kota ingin sekali meneliti presentasi penduduk kota dewasa yang merokok paling tidak satu bungkus per hari. Sebuah sampel random sebesar n = 300 telah dipilih dari populasi yang terdiri dari penduduk kota yang telah dewasa dan ternyata 36 orang merokok paling sedikit satu bungkus per hari. Buatlah interval keyakinan sebesar 95% guna menduga proporsi penduduk kota dewasa yang merokok paling sedikit satu bungkus per hari.

Diketahui X = 36 n = 300 𝑍 𝛼 2 =1,96

Proporsi penduduk dewasa yang merokok setidaknya satu bungkus per hari akan terletak antara 8,3% hingga 15,7%.

Menaksir Variansi Keterangan Populasi Sampel Nilai rata-rata µ 𝑋 Nilai variansi σ S Nilai Proporsi 𝜋 𝑝 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑛−1 𝑋 = 𝑋 𝑛 𝑝 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 𝐷𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑆𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

Menaksir Variansi  

Menaksir Variansi Berat 10 paket biji rumput yang didistribusikan oleh perusahaan tertentu adalah 46.4; 46.1; 45.8; 47.0; 46.1; 45.9; 45.8; 46.9; 45.2; 46.0. Hitunglah selang kepercayaan 95% dari variansinya, asumsi distribusi normal.

1 – α = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 α/2 = 0,025 1- (α/2) = 0,975 ν = n – 1 = 10 – 1 = 9 s2 = 0,286

Menaksir Variansi

Menaksir Selisih Rata-rata Misalkan terdapat dua populasi, keduanya berdistribusi normal. Rata-rata dan simpangan bakunya masing masing µ1,σ1, dan µ2, σ2 Jumlah Sampel dari masing-masing populasi n1 dan n2.

Pendugaan Parameter 1- 2 dengan 1 = 2 dan σ diketahui

Pendugaan Parameter 1- 2 dengan 1 = 2 namun besar σ tidak diketahui 𝑠 2 = 𝑛 1 −1 𝑠 1 2 + 𝑛 2 −1 𝑠 2 2 𝑛 1 + 𝑛 2 −2 𝑑𝑘= 𝑛 1 + 𝑛 2 -2 𝑝= 1+𝛼 2

Pendugaan Parameter 1- 2 dengan 1 ≠ 2, besar 1 dan 2 diketahui

Seorang importir menerima kiriman 2 macam lampu pijar bermerk A dan B dalam jumlah yang besar sekali. Secara random dipilih sampel masing-masing 50 untuk diuji daya tahannya. Rata-rata daya tahan A dan B adalah 1.282 jam dan 1.208 jam. Berdasarkan pengalaman deviasi standar kedua merk adalah konstan sebesar 80 dan 94 jam. Buatlah dugaan tentang beda rata-rata daya tahan kedua macam lampu pijar dengan interval keyakinan sebesar 95%.

Diketahui 𝑋 1 = 1282 𝑋 2 = 1208 n1 = 50 n2 = 50 𝜎 1 =80 𝜎 2 =94 𝑋 1 = 1282 𝑋 2 = 1208 n1 = 50 n2 = 50 𝜎 1 =80 𝜎 2 =94 𝑍 𝛼 2 =1,96

Menaksir Selisih Proporsi Misalkan terdapat dua populasi, untuk peristiwa yang sama p1 dan p2. Jumlah Sampel dari masing-masing populasi n1 dan n2.

Pendugaan parameter P1-P2 dimana P1-P2 diketahui

Terdapat 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran Terdapat 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Yang menyenangi pameran tersebut adalah 325 pemudi dan 400 pemuda. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perbedaan pemuda dan pemudi yang mengunjungi dan menyenangi pameran.

Diketahui 𝑋 1 = 325 𝑋 2 = 400 𝑛 1 = 500 𝑛 2 = 700 𝑍 𝛼 2 =1,96

Menentukan Ukuran Sampel Berapa banyak sampel yang diperlukan ??

Jumlah sampel yang diambil dipengaruhi 3 faktor Derajat keyakinan/ interval kepercayaan yang diinginkan Batas maksimum kesalahan yang dibolehkan Variansi populasi

E = batas maksimum kesalahan perkiraan nilai rata-rata Jumlah Sampel Untuk Menduga Nilai rata-rata apabila standar deviasi populasi diketahui 𝑛> 𝜎.𝑍 𝛼 2 𝐸 2 E = batas maksimum kesalahan perkiraan nilai rata-rata

Ditanya jumlah sampel yang diperlukan Jawab 𝑛= 1.96 10 2 2 = 96,04 =97 Jika diketahui σ = 10 E = 2 1 – α = 0,95 atau α = 0,05 Ditanya jumlah sampel yang diperlukan Jawab 𝑛= 1.96 10 2 2 = 96,04 =97

Jumlah Sampel Untuk Menduga Nilai proporsi 𝑛> 𝑝 1−𝑝 𝑍 𝛼 2 𝐸 2 E = batas maksimum kesalahan perkiraan nilai rata-rata

Diketahui Ditanyakan n P = 0,45 E =0,10 1-α = 0,99 atau α =0,01 𝑍 𝛼 2 =2,58 Ditanyakan n n = (0,45)(0,55) 2,58 0,10 2 =164,75=165