PELUANG by Andi Dharmawan

Populasi dan Sampel Dalam statistik, kita umumnya tertarik pada 'populasi' yang terlalu besar bagi kita untuk mengukur sepenuhnya. Misalnya, kita bisa tertarik pada semua bola lampu yang diproduksi oleh produsen tertentu. Pabrikan dapat mengklaim bahwa bola lampu nya memiliki masa 1.500 jam. Jelas ini tidak bisa tepat tetapi kita mungkin akan puas setuju dengan produsen jika sebagian besar lampu memiliki masa hidup yang lebih besar dari 1500 jam. Jika pabrik memproduksi setengah juta bola lampu per tahun maka kita tidak punya waktu untuk menguji mereka semua. Dalam hal ini kita menguji 'sampel'. Semakin besar sampel, semakin akurat akan menjadi perbandingan dengan seluruh penduduk.

Tabel VII.1 Distribusi Frekuensi daya tahan dari sampel light bulbsshowing metode penghitungan mean dan deviasi standar. N merupakan jumlah kelas, n jumlah dalam sampel

Interval Kelas Menemukan minimum dan maksimum data. Perbedaan antara memberikan berbagai data. Pilih jumlah interval kelas (biasanya sampai sekitar 20) sehingga rentang kelas dapat dipilih karena beberapa kelipatan 10, 100, 1000, dll (seperti rentang kelas 100 di atas). Rentang data dibagi oleh berbagai kelas dan kemudian dibulatkan ke bilangan bulat di atas memberikan jumlah kelas. Interval kelas yang dipilih sehingga minimal kelas terendah kurang dari data nilai minimum. Dalam contoh kita, minimal kelas terendah telah terpilih sebagai 900. Tambahkan rentang kelas 100 untuk menemukan interval kelas, misalnya, 900-1000. Lanjutkan menambahkan berbagai kelas untuk mencari interval kelas berikutnya sampai Anda melewati nilai maksimum.

Titik Tengah Kelas Titik tengah kelas ditemukan oleh nilai maksimum dalam interval kelas - nilai minimum dalam interval kelas dibagi 2. Untuk interval 1300-1400, titik tengah kelas (1400-1300) / 2 = 1350. Kelas titik tengah diambil sebagai nilai representatif untuk kelas. Artinya, demi kesederhanaan kita memperlakukan data di kelas 1300-1400 seolah-olah ada 47 nilai pada 1350. Ini merupakan pendekatan yang tidak terlalu serius jika kelas yang tidak terlalu lebar.

Frekuensi Kelas dan Jumlah Total dalam Sampel Frekuensi kelas ditemukan dengan menghitung jumlah nilai data yang berada dalam rentang kelas. Misalnya, ada 47 nilai antara 1300 dan 1400. Anda harus memutuskan apakah akan menyertakan nilai-nilai yang jatuh tepat pada batas kelas di kelas atas atau kelas bawah. Ini biasanya tidak peduli yang Anda pilih selama Anda konsisten dalam seluruh set data. Jumlah nilai dalam sampel diberikan oleh jumlah frekuensi untuk setiap interval kelas.

Memperbaiki i dan Rata-Rata Sampel, 𝒙 Ini adalah produk dari frekuensi dan titik tengah kelas. Jika titik tengah kelas diambil sebagai nilai representatif untuk kelas maka memberikan jumlah dari semua nilai-nilai di kelas itu. Misalnya, di kelas delapan, dengan titik tengah kelas 1650, ada 190 nilai. Jika kita mengatakan bahwa masing-masing nilai adalah sekitar 1650 maka total semua nilai dalam kelas yang 1650 × 190 = 313.500. Menyimpulkan kolom ini memberikan total nilai perkiraan untuk seluruh sampel = 1.682.700 jam. Jika kita hanya menggunakan satu lampu pada satu waktu dan berubah ketika gagal maka 1.000 lampu akan berlangsung sekitar 1.682.700 jam rata-rata sampel adalah total ini dibagi dengan jumlah dalam sampel, 1000. Memberikan 1 682.700/1000 = 1682,7 jam. Mean adalah ukuran tendensi sentral. Artinya, jika Anda ingin nomor sederhana untuk meringkas masa ini lampu Anda akan mengatakan bahwa hidup rata-rata adalah 1.683 jam.

Frekuensi Kumulatif Frekuensi kumulatif memberikan jumlah yang jatuh ke dalam interval kelas saat atau interval kelas yang datang sebelum. Anda bisa menganggapnya sebagai 'jumlah sejauh' fungsi. Untuk mencari frekuensi kumulatif untuk kelas, mengambil nomor di kelas saat ini dan menambah frekuensi kumulatif sebelumnya untuk kelas bawah, misalnya, untuk 1900-2000 kita memiliki frekuensi 92. Frekuensi kumulatif untuk 1800-1900 adalah 859. Tambahkan 859 +92 untuk mendapatkan frekuensi kumulatif 951. Artinya, 951 bola lampu dalam sampel memiliki seumur hidup di bawah 2000 jam. Perhatikan bahwa frekuensi kumulatif dari kelas akhir harus sama dengan jumlah total dalam sampel. Hal ini karena kelas terakhir harus menyertakan nilai maksimum dalam sampel dan semua yang lain memiliki daya tahan kurang dari ini.

(𝒙𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 , Deviasi Kuadrat (𝑥𝑖 − 𝑥 ) 2 merupakan jumlah yang titik tengah kelas berbeda dari rata-rata sampel. Jika kita ingin mengukur seberapa tersebar di sekitar mean data, maka ini akan tampak seperti sejumlah berguna. Namun, menambahkan (𝑥𝑖 − 𝑥 ) 2 untuk seluruh sampel hanya akan memberikan nol, karena nilai-nilai positif dan negatif akan membatalkan satu sama lain. Oleh karena itu kita mengambil alun-alun, sehingga semua angka positif. Untuk interval kelas enam titik tengah kelas 1450, mengurangkan mean, 1682,7, memberikan -232,7, yang ketika kuadrat adalah 54.149,2. Nilai ini merupakan kuadrat dari deviasi dari rata-rata, atau hanya deviasi kuadrat.

Fi (𝒙𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 , Varians dan Standar Deviasi Untuk setiap kelas kita kalikan frekuensi dengan deviasi kuadrat, dihitung pada kolom 6. Ini memberikan perkiraan terhadap total deviasi kuadrat untuk kelas itu. Untuk kelas keenam kita kalikan deviasi kuadrat dari 54.149 dengan frekuensi 103 untuk mendapatkan 5.577.347. Jumlah kolom ini memberikan total kuadrat deviasi dari rata-rata untuk seluruh sampel. Membagi dengan jumlah titik sampel memberikan gambaran deviasi kuadrat rata-rata, disebut varians. Hal ini ditemukan dengan menjumlahkan kolom 7 dan membaginya dengan 1000, jumlah dalam sampel, memberikan varian 39.120. Sebuah ukuran yang lebih baik dari penyebaran data yang diberikan oleh akar kuadrat dari angka ini, yang disebut standar deviasi dan biasanya diwakili oleh σ. 𝜎 = 39120 ≈ 198.

Frekuensi Relatif Jika bukan 1000 nilai data dalam sampel kita memiliki tahun 2000, 10 000, atau 500, kita harapkan bahwa proporsi jatuh ke setiap interval kelas akan tetap kurang lebih sama. Ini proporsi jumlah disebut frekuensi relatif dan ditemukan dengan membagi frekuensi dengan jumlah total dalam sampel. Oleh karena itu, untuk kelas ketiga, 1100 - 1200, kita menemukan 5/1000 = 0,005.

Frekuensi Relatif Kumulatif Dengan argumen yang sama seperti di atas kita harapkan proporsi dengan seumur hidup kurang dari 1900 jam menjadi kira-kira apa yang sama ukuran sampel. Ini frekuensi relatif kumulatif dapat ditemukan dengan membagi frekuensi kumulatif dengan jumlah dalam sampel. Perhatikan bahwa frekuensi relatif kumulatif untuk interval kelas terakhir adalah 1. Artinya, seluruh sampel memiliki seumur hidup kurang dari 2000 jam. Data dapat direpresentasikan dalam histogram seperti pada Gambar VII.1, yang memberikan representasi bergambar sederhana data. Sisi kanan memiliki skala yang sama dengan skala kiri dibagi dengan jumlah dalam sampel, sehingga memberikan frekuensi relatif dan frekuensi relatif kumulatif seperti yang diberikan dalam Tabel VII.1.

Gambar VII.1 Histogram dari daya tahan sampel bola lampu.

Tendensi Sentral - Mean Yang paling umum digunakan ukuran tendensi sentral adalah mean, 𝑥 dimana xi merupakan perwakilan dari nilai kelas dan fi merupakan frekuensi dari kelas. Penjumlahan terjadi pada lebih dari semua kelas. Jika data belum dikelompokkan ke dalam kelas kemudian mean ditemukan dengan menjumlahkan semua nilai data individu dan membaginya dengan jumlah dalam sampel: di mana penjumlahan kini seluruh nilai sampel.

Dispersi - Standar Deviasi Varians adalah deviasi kuadrat rata-rata yang diberikan oleh di mana 𝑥 adalah sampel dari mean, xi adalah nilai representatif untuk kelas, fi adalah frekuensi kelas, dan penjumlahan adalah atas semua kelas. Nilai ini sama dengan yang bisa beberapa kali lebih cepat untuk menghitung. Untuk data tidak dikelompokkan ke dalam kelas yang kita miliki atau di mana penjumlahan kini seluruh nilai sampel.

Dispersi - Standar Deviasi (lanjutan) Deviasi standar diberikan oleh akar kuadrat dari varians: Kita telah menghitung umur rata-rata dan deviasi standar daya tahan dari sampel bola lampu. Kita ulangi perhitungan di bawah ini. Nilai rata-rata diberikan oleh

Dispersi - Standar Deviasi (lanjutan) Varians diberikan oleh Oleh karena itu, standar deviasi:

Sistem Acak dan Probabilitas Frekuensi Relatif dan Probabilitas Probabilitas suatu peristiwa berhubungan dengan frekuensi relatif. Probabilitas Ruang Sampel Diskrit. semua probabilitas kurang dari, atau sama dengan 1, yaitu 0  p(x)  1, di mana x adalah setiap hasil dalam ruang sampel; probabilitas individu hasil penjumlahan ke 1, yaitu, Ruang Sampel Kontinu probabilitas x berada dalam interval a ke b diberikan oleh Fungsi kepadatan probabilitas mematuhi kondisi:

Sistem Acak dan Probabilitas (lanjutan) Kejadian dengan Kemungkinan yang Sama Jika semua hasil sama-sama mungkin maka probabilitas dari suatu peristiwa E dari satu set sampel diskrit diberikan oleh 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑖 𝐸 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑖 𝑆

Hukum Penambahan Probabilitas Kejadian Menguraikan Kejadian menguraikan merupakan peristiwa tanpa hasil yang sama. Mereka tidak bisa terjadi secara bersamaan. Non-Disjoint Event

Latihan Soal Sebuah desain sirkuit terpadu termasuk kapasitor 100 pF (picofarads). Setelah pembuatan, 80 sampel diuji dan kapasitansi berikut ditemukan nominal 100-pF kapasitor (data disajikan dalam pF) 90 100 115 80 113 114 99 105 90 99 106 103 95 105 95 101 87 91 101 102 103 90 96 97 99 86 105 107 93 118 94 113 92 110 104 104 95 93 95 85 96 99 98 83 97 96 98 84 102 109 98 111 119 110 108 102 100 101 104 105 93 104 97 83 98 91 85 92 100 91 101 103 101 86 120 96 101 102 112 119 Nyatakan data dalam bentuk tabel dan gambar histogram. Cari mean dan deviasi standar! Apa kemungkinan melemparkan nomor lebih dari 4 pada satu lemparan sebuah dadu? Apa kemungkinan membuang sejumlah kurang dari 4 atau 6 pada satu lemparan sebuah dadu? Apa kemungkinan melemparkan ganjil atau nomor lebih dari 4 pada satu lemparan sebuah dadu? Berapa probabilitas menggambar apapun Jantung atau Raja dari dikocok pak kartu? Pada dua lemparan sebuah dadu, berapa probabilitas dari 6 pada pertama melemparkan diikuti oleh bilangan genap pada lemparan kedua? Melontar dua dadu, berapa probabilitas bahwa jumlah dadu adalah 7? Berapa probabilitas bahwa dua kartu pertama dibagikan dari bungkus akan klub. Sebuah komponen dalam jaringan komunikasi memiliki probabilitas 1% kegagalan selama periode 24-jam. Untuk menjaga terhadap kegagalan komponen identik dipasang secara paralel dengan perangkat switching otomatis harus komponen asli gagal. Jika itu juga memiliki probabilitas 1% kegagalan apa probabilitas bahwa meskipun tindakan pencegahan ini komunikasi akan gagal.