Mata Kuliah Logika Informatika Teknik Informatika 54406 3 SKS Bab II : Proposisi

Bab 2 : Proposisi Konsep Proposisi Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (True) saja atau salah (Fals) saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah Proposisi juga disebut Statemen Ada juga yang menyebut dengan Kalkulus Proposisi

Contoh : # Matahari terbit di sebelah timur # Kucing adalah binatang berkaki empat Contoh di atas disebut proposisi sederhana, untuk menuliskan proposisi dengan cara : p : Matahari terbit di sebelah timur q : Kucing adalah binatang berkaki empat r : Budi mahasiswa Teknik Informatika

B. Proposisi Majemuk Proposisi majemuk adalah proposisi yang dibentuk dari penggabungan dua atau lebih proposisi sederhana Untuk menggabungkan dua atau lebih proposisi sederhana digunakan kata penghubung, antara lain : Tidak, Dan, Atau, Jika...maka....., Jika dan hanya jika

Misalkan ada dua proposisi sederhana yang dilambangkan dengan variabel p : Jakarta ibukota RI q : Jalan rusak maka kita dapat membuat proposisi majemuk dengan kata hubung Tidak benar Jakarta ibukota RI Jakarta ibukota RI dan Jalan Rusak ...... .....

C. Tabel Kebenaran Baik proposisi sederhana ataupun proposisi majemuk selalu mempunyai nilai kebenaran True atau Fals tapi tidak keduanya Tabel kebenaran yaitu tabel yang memuat semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi sederhana maupun proposisi majemuk

Jika ada 2 buah proposisi sederhana yaitu p dan q, maka Misalkan ada n buah proposisi sederhana, maka dalam tabel kebenaran ada 2n buah kemungkinan nilai kebenaran Jika ada 2 buah proposisi sederhana yaitu p dan q, maka p q Proposisi majemuk B S

Jika ada 3 buah proposisi sederhana yaitu p , q dan r , maka Proposisi majemuk B S

Negasi (NOT) Negasi atau Ingkaran atau Penyangkalan , artinya akan menyangkal sebuah proposisi. p : Jakarta ibukota RI maka negasinya p : Tidak benar Jakarta ibukota RI Jika proposisi p bernilai T, maka negasinya p bernilai F, sebaliknya jika proposisi p bernilai F maka negasinya p bernilai T

Contoh : p : Soekarno presiden RI pertama q : Hari ini hujan r : Bunga mawar berbau harum s : Budi ganteng Tuliskan Negasinya

Jika hanya ada 1 buah proposisi sederhana yaitu p, maka negasinya

Konjungsi (DAN = AND) Konjungsi adalah proposisi majemuk yang dibentuk dari dua buah proposisi sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung DAN dengan simbol “  “ p : Jakarta ibukota RI q : Budi anak cerdas maka Konjungsinya p  q : Jakarta ibukota RI dan Budi anak cerdas

r : Bunga mawar berbau harum s : Bunga matahari berwarna kuning maka Konjungsinya r  s : Bunga mawar berbau harum dan bungan matahari berwarna kuning Bagaimana dengan r  s : s r : (r  s) :

Nyatakan dalam bentuk simbolik dari proposisi berikut : p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan Pemuda itu tinggi dan tampan Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi walaupun tampan Tidak benar bahwa pemuda itu tidak tinggi dan tidak tampan Pemuda itu tampan namun tidak tinggi

Tabel kebenaran untuk Konjungsi bernilai Benar, jika proporsi ke 1 dan ke 2 bernilai Benar q p q B S

r : Bunga mawar berbau harum s : Bunga matahari berwarna kuning maka Konjungsinya r  s : Bunga mawar berbau harum dan bungan matahari berwarna kuning Buat Tabel Kebenaranya : r  s : s r : (r  s) : s  r :

Disjungsi (ATAU) Disjungi adalah proposisi majemuk yang dibentuk dari dua buah proposisi sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung ATAU dengan simbol “  “ p : Jakarta ibukota RI q : Budi anak cerdas maka Konjungsinya p  q : Jakarta ibukota RI atau Budi anak cerdas

r : Bunga mawar berbau harum s : Bunga matahari berwarna kuning maka Disjungsinya r  s : Bunga mawar berbau harum atau bungan matahari berwarna kuning Bagaimana dengan r  s : s  r : (r  s) :

Nyatakan dalam bentuk simbolik dari proposisi berikut : p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan Pemuda itu tidak tampan atau tinggi Pemuda itu tinggi atau tidak tampan Pemuda itu tidak tinggi atau tampan Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan Pemuda itu tampan atau tidak tinggi

Tabel kebenaran untuk Disjungsi bernilai Salah jika proporsi ke 1 dan ke 2 bernilai Salah q p q B S

Proposisi p atau q dapat mempunyai dua arti : Or Inklusif (OR) yaitu p = B atau q = B atau keduanya B Or Ekslusif (Ex OR) yaitu p = B atau q = B atau tidak keduanya B Ex-Or dilambangkan dengan “  “

Tabel kebenaran OR dan Ex-Or p q p q B S p q p q B S

r : Bunga mawar berbau harum s : Bunga matahari berwarna kuning maka Disjungsinya r  s : Bunga mawar berbau harum atau bungan matahari berwarna kuning Buat Tabel Kebenaranya : r  s : s  (r  s) : (r  s) : s  r :

Implikasi (Jika.....Maka.....) pernyataan : Jika ABCD belah ketupat maka diagonalnya saling berpotongan ditengah tengah ABCD belah ketupat disebut syarat cukup bagi diagonalnya untuk berpotongan ditengah tengah Diagonalnya saling berpotongan ditengah tengah disebut syarat perlu, tetapi belum cukup, Mengapa ?

Pernyataan yang berbentuk “jika p maka q” disebut Implikasi dilambangkan : p  q Pernyataan p  q dapat dibaca : Jika p maka q p berimplikasi q q jika p p mengakibatkan q p syarat cukup untuk q q syarat perlu untuk p

Pernyataan yang berbentuk “jika p maka q” disebut Implikasi dilambangkan : p  q Contoh : p : hari hujan q : tanaman akan tumbuh subur Jika hari hujan maka tanaman akan tumbuh sebur

Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang Es yang mencair dikutub mengakibatkan permukaan air laut naik Orang itu mau bekerja, jika ia diberi ongkos jalan Anda dapat memperoleh SIM hanya jika berusia 17 tahun

p : Anda berusia 17 tahun q : Anda dapat memperoleh SIM Nyatakan dalam simbol dari pernyataan berikut : Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun (q  p) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun (p  q)

Tabel kebenaran untuk Implikasi bernilai Salah jika proporsi ke 1 bernilai B dan ke 2 bernilai Salah (BSS) p q p q B S

Contoh : p : matahari bersinar q : udara terasa hangat r : permukaan airlaut naik Buatlah Tabel kebenaran dari pernyataan berikut : a. (pq)  (rq) b. (pq)  (rp) c. (pr)  (qr)

5. Bi Implikasi (p Jika & Hanya Jika q) pernyataan : Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin Pengertian pernyataa itu adalah : Jika saya memakai mantel maka saya merasa dingin dan Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel Terlihat saya memakai mantel adalah syarat perlu dan cukup bagi saya merasa dingin dan sebaliknya

Pernyataan yang berbentuk “ p jika dan hanya jika q” atau pernyataan bersyarat ganda disebut Bi Implikasi p  q p jika dan hanya jika q berarti : Jika p maka q dan jika q maka p, sehingga p syarat perlu dan cukup bagi q dan sebaliknya

Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas sama saja dengan Jika udara di luar panas maka saya membeli es krim dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas Anda naik jabatan jika anda punya koneksi dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan Sama saja dengan

Tabel kebenaran untuk Bi Implikasi bernilai Benar jika proporsi ke 1 dan ke 2 bernilai Sama q p q B S

Contoh : p : matahari bersinar q : udara terasa hangat r : permukaan airlaut naik Buatlah Tabel kebenaran dari pernyataan berikut : a. (pq)  (rq) b. (p q)  ( rp) c. (p r)  (qr)

D. Ekivalensi Logika Dua buah proposisi yaitu : P(p, q, r, ....) dan Q(p, q, r, ....) disebut ekivalen atau equel (logically equivalent) dinotasikan : P(p, q, r, ....)  Q(p, q, r, ....) Jika kedua proposisi tersebut mempunyai Tabel Kebenaran yang sama Contoh : (pq)  p  q

Contoh : Tidak benar bahwa mawar berwarna merah dan violet berwarna biru Eqivalen dengan Mawar tidak berwarna merah atau violet tidak berwarna biru Apakah pq  p  q eqivalen ? Apakah (pq)(qp)  pq eqivalen ? Tunjukan dengan Tabel

a. Tautologi Tautologi adalah proposisi yang selalu bernilai Benar. Misal : Junus masih bujang atau junus bukan bujang Jika p = Junus masih bujang, maka p = Junus bukan bujang, Tabel kebenarnya adalah :

Tabel Kebenaran p  p p p p  p B S Tabel Kebenaran p  p bernilai selalu Benar, maka proposisi p  p disebut Tautologi

Contoh Tautologi a. p  (p  q) b. (p  q)  (q  p) c. (p  q)  (p  q) d. (q  p) e. p  (p  q) Tunjukan dengan Tabel Kebenaran

b. Kontradiksi Kontradiksi adalah proposisi yang selalu bernilai Salah. Misal : Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa Jika p = Pratiwi seorang mahasiswa, maka p = Pratiwi bukan mahasiswa Tabel kebenarnya adalah :

Tabel Kebenaran p  p p p p  p B S Tabel Kebenaran p  p bernilai selalu Salah, maka proposisi p  p disebut Kontradiksi

Contoh Kontradiksi a. (p  q)  (p  q) b