Postulat Mekanika Kuantum, Persamaan Schrödinger, dan Interpretasi Born T. Hidayat

Einstein dan Born Einstein menyatukan pandangan partikel untuk teori gelombang: Dalam pandangan gelombang, intensitas radiasi elektromagnetik I sebanding dengan E2, dengan E2 adalah nilai rata-rata untuk satu siklus dari kuadrat kuat medan listrik Dalam pandangan partikel foton, intensitas radiasi dituliskan I = Nh, dengan N adalah jumlah rata-rata foton per satuan waktu yang memotong satu satuan luas yang tegak lurus terhadap arah penjalaran. Jika disamakan: I = (1/0c) E2 = Nh, Einstein menginterpretasikan E2 sebagai besaran probabilitas kerapatan foton. Seperti dalam teori kinetik, fluktuasi terhadap nilai rata-rata lebih terlihat pada intensitas rendah ketimbang pada intensitas tinggi.

Einstein dan Born Analog dengan Einstein, Max Born menyatukan pandangan gelombang untuk teori partikel (materi): Schrödinger memberikan generalisasi dari postulat de Broglie, disebut dengan postulat Mekanika Kuantum. Jika diperkenalkan fungsi gelombang Ψ, yang merepresentasikan gelombang materi (gelombang de Broglie), katakan suatu gelombang bidang sinusoidal, maka jelas hal itu analog dengan medan listrik dari gelombang elektromagnetik sinusoidal, dengan panjang gelombang  dan frekuensi  yang bergerak dalam arah x. Kuantitas |Ψ|2 untuk gelombang materi ini analog dengan E2 untuk radiasi elektromagnetik.  Interpretasi Born: kuadrat rata-rata dari fungsi gelombang merupakan ukuran probabilitas mendapatkan partikel per satuan volume di suatu tempat dan waktu.

Argumen plausability dari Persamaan Schrödinger Tinjau partikel bebas, dengan kecepatan grup, dan diuraikan oleh hubungan Einstein-de Broglie. Dapat ditunjukkan bahwa apabila partikel tersebut diuraikan oleh suatu fungsi gelombang Ψ, yang dapat dinyatakan oleh suatu integral Fourier, maka akan memenuhi suatu persamaan diferensial parsial: “Schrödinger-like” Mulai sekarang lupakan “paket gelombang”, partikel bukan tersusun dari gelombang-gelombang Wave picture: penggambaran partikel sebagai fungsi gelombang

Postulat Mekanika Kuantum

Persamaan Schrödinger 1. Persamaan Schrödinger bergantung-waktu (time-dependent) 2. Persamaan Schrödinger Bebas-Waktu (time-independent)

Interpretasi Born

P = Ψ(x)Ψ*(x) dx Interpretasi Born; Interpretasi Fungsi Gelombang dalam 1-dim Fungsi Gelombang Ψ mengandung seluruh informasi dinamik terhadap sistem yang dia uraikan Modulus kuadrat dari fungsi gelombang di x sebanding dengan probabilitas mendapatkan partikel di x Jika fungsi gelombang partikel memiliki nilai Ψ(x) di titik x, maka probabilitas mendapatkan partikel antara x dan x + dx adalah: P = Ψ(x)Ψ*(x) dx Max Born

Sifat-sifat Fungsi Gelombang (wavefunction) Ψ Istilah padanan untuk fungsi gelombang: Fungsi eigen (eigenfunction) Fungsi keadaan (statefunction) Vektor eigen (eigenvector)

Harus Kontinu

Slope kontinu

Harus Single-valued Square-integrable

Persamaan Schrodinger Persamaan Eigen dan Nilai Eigen Bergantung-Waktu dan Bebas-Waktu Persamaan Eigen dan Nilai Eigen

Tinjau sebuah partikel bermassa m yang bergerak dalam arah-x: Tinjau bahwa partikel tersebut berada dalam pengaruh potensial V(x,t) Dalam mekanika kuantum, semua sifat partikel tersebut ditentukan oleh fungsi gelombang Ψ(x,t)

Membangun persamaan: Suatu sistem yang berubah dengan waktu diuraikan oleh Persamaan Schrödinger bergantung waktu: Dengan H adalah Hamiltonian sistem: Menurut postulat 6

Membangun persamaan:  merupakan persamaan Schrödinger bergantung-waktu Fungsi gelombang Ψ(x,t) juga dinamakan dengan fungsi keadaan. Keadaan tersebut umumnya berubah dengan waktu akibat V(x,t). Jadi Ψ(x,t) merupakan fungsi dari ruang dan waktu.

Seperti telah disinggung, fungsi gelombang tidak memiliki arti fisis secara langsung. Akan tetapi:

Penting dicatat bahwa partikel bukan terdistribusi pada suatu daerah yang cukup besar sebagai awan muatan. Adalah pola probabilitas (fungsi gelombang) yang digunakan untuk menguraikan gerak elektron yang berkelakuan seperti gelombang dan memenuhi persamaan gelombang.

Maka: Memberikan:

Ruas kanan menjadi tidak bergantung pada t apabila V bebas- waktu Ruas kanan menjadi tidak bergantung pada t apabila V bebas- waktu. Dengan sendirinya, ruas kiri juga tidak bergantung waktu.

Maka, dapat dituliskan: Ruas kiri menjadi tidak bergantung pada x, sehingga ruas kanan juga tidak bergantung pada x, dan sama dengan konstanta E.

Pecahkan untuk f(t): Atau: Integrasikan dari t=0 ke t=t0 memberikan:

Atau:

Untuk partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial yang tidak bergantung-waktu V(x). E adalah energi total sistem

Fungsi gelombang total untuk partikel yang bergerak dalam 1-dimensi, dalam potensial V(x) diberikan oleh:

Untuk partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial yang tidak bergantung-waktu V(x). E adalah energi total sistem

Untuk partikel yang bergerak di bawah pengaruh potensial yang tidak bergantung-waktu V(x). E adalah energi total sistem

Jadi dapat dituliskan secara umum bahwa untuk partikel dalam potensial bebas-waktu: Fungsi gelombang ini merupakan fungsi kompleks dan bergantung-waktu. Namun perhatikan rapat probabilitasnya yang dinyatakan oleh interpretasi Born:

Maka, keadaan yang menguraikan sistem dengan potensial Bebas-waktu akan memiliki rapat probabilitas yang bebas- \waktu (stasioner).

Hal ini bukan berarti partikelnya stasioner, tetapi bahwa probabilitas mendapatkan partikel dalam interval x - ½Δx ke x + ½Δx adalah konstan.

Kita katakan bahwa sistem tersebut dapat diuraikan oleh fungsi gelombang ber-tipe: Yang merepresentasikan keadaan stasioner