Simple and Compound Interest

Bunga Tunggal Uang k rupiah dengan suku bunga i, akhir tahun mendapat bunga ki, sehingga akhir tahun ke-1 atau awal tahun ke-2 menjadi k + ki = k(1+i). Selama tahun ke-2 mendapatkan bunga lagi sebesar ki, dihitung dari pokok uang anda pertama kali k. Bunga selama 2 tahun menjadi 2ki. Pada akhir tahun ke-2 uang anda menjadi k(1+i) + ki = k + 2ki = k (1+2i) … Setelah n tahun, total akumulasi bunga sebesar kni. Jadi setelah n tahun rekening anda menjadi k (1+(n-1)i) + ki = k (1+ni)

Muncul pertanyaan, efektif (konsisten) kah bunga tunggal ? Uang Rp 100 berbunga tunggal 5%. Pada tahun pertama, anda mendapat bunga Rp 5, 5% dari 100. Pada tahun kedua, uang menjadi Rp 105, bunga rp 5, efektifnya hanya 4,7619%, yaitu 5 dari 105. Pada tahun ketiga, uang menjadi Rp 110, mendapat Rp 5, efektifnya hanya 4,5455%, yaitu 5 dari 110 rp, dan seterusnya. Ternyata bunga yang diterima tidak selalu 5% pertahunnya, akan tetapi makin menurun, efektif terhadap akumulasi.

Tingkat bunga efektif (i) dapat dinyatakan sebagai rasio dari sejumlah bunga selama satu tahun terhadap pokok awal tahun Tingkat bunga efektif untuk periode ke-n

Secara matematis, dapat ditunjukkan bahwa suku bunga sederhana tidak memenuhi sebagai suku bunga efektif seperti bukti berikut. 𝑖 𝑛 = 𝐴 𝑛 −𝐴(𝑛−1) 𝐴(𝑛−1) = 𝑘 1+𝑛𝑖 −𝑘(1+ 𝑛−1 𝑖 𝑘(1+ 𝑛−1 𝑖) = 𝑖 1+ 𝑛−1 𝑖

Contoh Andi dan Hakim sama-sama menabung 10 juta rupiah di bank yang sama dengan sistem bunga tunggal dengan suku bunga 10%. Andi membiarkan tabungannya sampai 2 tahun. Sedangkan Hakim setelah menerima bunga tahun pertama, menarik seluruh uang dalam rekeningnya dan segera menabungkannya kembali. Hitunglah akumulasi uang kedua penabung di atas setelah dua tahun.

Dapat dilihat di sini bahwa Hakim menerapkan sistem bunga selain bunga tunggal, yaitu bunga berbunga, atau bunga majemuk atau compound interest. Dengan bunga majemuk, Hakim mampu mengakumulasi uangnya menjadi lebih banyak dibandingkan Andi dengan bunga tunggal. Dengan alasan tersebut, pihak perbankan tidak lagi memakai suku bunga tunggal dan mengaplikasikan bunga majemuk.

Bunga Majemuk Tabungan sebesar A akan memperoleh bunga sebesar Ai, sehingga menjadi A+Ai = A(1+i) diakhir tahun ke- 1 Jadi tabungan pada awal tahun kedua A(1+i). Pada akhir tahun ke-2, tabungan memperoleh bunga A(1+i)i, sehingga menjadi A(1+i) + A(1+i)i = A(1+i)2 Setelah 3 tahun, jadi A(1+i)2 + A(1+i)2i = A(1+i)3 Dapat anda telusuri bahwa setelah n tahun, tabungan menjadi A(1+i)n-1 + A(1+i)n-1i = A(1+i)n

Bunga majemuk akan memberikan pertumbuhan geometrik terhadap aset kita. Sedangkan bunga tunggal memberikan pertumbuhan linear terhadap aset kita.

Contoh. Berapa tahun waktu yang diperlukan agar uang anda menjadi dua kali lipat dari sekarang jika berlaku suku bunga majemuk konstan 7% ? dan berapa tahun waktu yang dibutuhkan jika bunganya 10% ? a. 10,27 b. 7,93 c. 10,245 d. 7,39 Jawab : t = ln 2 / ln 1,07 = 10,245 tahun dan t = ln 2/ ln 1,1 = 7,27 tahun.

Aturan The seven-ten rule “Uang yang ditabungkan pada suku bunga 7% per tahun akan menjadi dua kali lipat kira-kira dalam 10 tahun. Sebaliknya, uang yang ditabung pada suku bunga 10% per tahun akan menjadi dua kali lipat kira-kira dalam 7 tahun”.

Dapat ditunjukkan bahwa suku bunga majemuk memenuhi sebagai suku bunga efektif seperti bukti berikut. 𝑖 𝑛 = 𝐴 𝑛 −𝐴 𝑛−1 𝐴 𝑛−1 = 𝑘 1+𝑖 𝑛 −𝑘 1+𝑖 𝑛−1 𝑘 1+𝑖 𝑛−1 = 1+𝑖−1 1+𝑖 𝑛−1 1+𝑖 𝑛−1 =𝑖 Dikatakan efektif karena bunga yang diterima dari waktu ke waktu, nilainya proporsional terhadap pokok yang semakin bertambah.

Periode di bawah 1 tahun untuk waktu yang relatif pendek, di bawah satu tahun, bunga tunggal akan memberikan hasil yang lebih banyak dibandingkan dengan bunga majemuk : Contoh. Anda mendepositokan uang 1 juta rupiah selama setengah tahun. Hitunglah akumulasi tabungan anda dengan menggunakan bunga tunggal dan majemuk, jika diketahui suku bunga 8%. Jawab : Bunga tunggal Akumulasi = 1.000.000(1+0,08×0,5) = 1.040.000,- Bunga majemuk Akumulasi = 1.000.000(1+0,08)0,5 = 1.039.230,-

Perbedaan antara kedua jenis bunga di atas terlihat kecil, hanya sekitar 770 rupiah . Tapi coba anda bayangkan dana deposito pensiun sebesar 1 trilyun rupiah. Setelah anda hitung ternyata terdapat selisih uang 769.515.459 rupiah atau sekitar 770 juta rupiah.

Sebagai gambaran, dapat kita lihat perbedaan bunga tunggal versus bunga majemuk untuk waktu lebih pendek dari 1 tahun seperti pada tabel di bawah. Tabel. bunga tunggal dan majemuk dengan i = 10%.

Contoh 2.1.9. Ary meminjam uang 10 juta rupiah selama 90 hari pada suku bunga efektif tahunan 8,25%. Berapakah Ary harus melunasi pinjaman tersebut setelah 90 hari ? Contoh 2.1.10. Deny meminjam uang 20 juta rupiah. Dia membayar pinjaman setelah 4 tahun sebesar 26,70938 juta rupiah. Berapakah suku bunga efektif tahunan dari pinjaman tersebut ?

Contoh. Carilah nilai akumulasi dari investasi 5 milyard selama 5 tahun 4 bulan pada suku bunga 9% pertahun. Bunga majemuk Bunga sederhana selama 4 bulan terakhir.

Contoh. Hitunglah berapa waktu yang dibutuhkan agar uang 1000 juta rupiah yang mendapat bunga efektif 6% akan sama dengan uang 2000 juta rupiah yang mendapat bunga efektif 4%. Jawab. Dari soal di atas, diperoleh hubungan matematis sebagai berikut 1000(1,o6)n = 2000(1,04)n

Diperoleh

Soal A-10 PAI 2013 Pada tingkat bunga majemuk tetap, nilai 2 bertambah menjadi 6 dalam a tahun, nilai 6 akan bertambah menjadi 8 dalam b tahun, dan nilai 80 akan bertambah menjadi 100 dalam n tahun. Jika nilai 40 akan bertambah menjadi 200 dalam c tahun. Nyatakan n sebagai fungsi dari a,b,c

Jawab : 3 = 1 (1+i)a  3 = ka 4 = 3 (1+i)b  4/3 = kb 20 = 4 (1+i)c  5 = kc 10/8 = 5/4 = kn  = 5. ¾ . 1/3 = kc. k-b. k-a