Graf Berlabel Graf Euler Graf Hamilton Teori Graf Teknik Informatika STT Wastukancana Purwakarta

Graf Berlabel Hubungan antar verteks-verteks dalam graph perlu diperjelas. Sebagai contoh, andaikata suatu graph menyatakan “peta” suatu daerah. Verteks-verteks graph menyatakan kota-kota yang ada di daerah tersebut. Edge-edge dalam graph menyatakan jalan yang menghubungkan kota-kota tersebut.

Informasi tentang peta daerah perlu diperjelas dengan mencantumkan jarak antara 2 kota yang berhubungan. Informasi tentang jarak dibutuhkan karena dalam graph, letak verteks dan panjang edgenya tidak menyatakan jarak 2 kota yang sebenarnya seperti halnya dengan peta yang sebenarnya. Jadi setiap garis dalam graph berhubungan dengan suatu label yang menyatakan bobot garis tersebut.

Graf Berlabel Graph Berlabel (weighted graph) adalah suatu graph tanpa edge paralel dimana setiap edgenya berhubungan dengan suatu bilangan riil tak negatif yang menyatakan bobot edge (w(e)) tersebut. Jumlah bobot semua edge disebut Total Bobot. Bobot suatu garis dapat mewakili “jarak”, “biaya”, “panjang”, “kapasitas”, dll.

Matriks yang bersesuaian dengan graph berlabel G adalah matriks hubung A = (aij) dengan aij = bobot edge yang menghubungkan verteks vi dengan verteks vj. Jika verteks vi tidak berhubungan langsung dengan verteks vj maka aij = ∞, dan aij = 0 jika i = j.

Dalam suatu propinsi, ada 8 kota (v1, v2, …, v8) yang akan dihubungkan dengan jaringan listrik. Biaya pemasangan jaringan listrik yang mungkin dibuat antar 2 kota adalah sebagai berikut :

Graph berlabel untuk menyatakan jaringan listrik di 8 kota dapat digambarkan pada gambar di bawah ini. Angka dalam kurung menyatakan bobot edge yang bersangkutan. Bobot tersebut menyatakan biaya pengadaan jaringan listrik.

Representasi Graf berbobot dalam bentuk matriks:

Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing edge di dalam graf tepat satu kali Sirkuit Euler adalah sirkuit di mana setiap titik dalam graf G muncul paling sedikit satu kali dan setiap garis muncul tepat satu kali. Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle) pada graph G adalah sebuah cycle sederhana yang melalui setiap edge di G hanya sekali.

Masalah 7 Jembatan yang menghubungkan 4 kota. Latar Belakang : Masalah 7 Jembatan yang menghubungkan 4 kota. Apakah mungkin seseorang berjalan mengunjungi kota yang dimulai dan diakhiri pada tempat yang sama dengan melintasi 7 jembatan masing-masing tepat satu kali ? A j1 B C D j3 j2 j4 j5 j6 j7

Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing edge di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing edge tepat satu kali.. Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

(a) dan (b) graf semi-Euler (c) dan (d) graf Euler Lintasan Euler pada graf Gambar 6.42(a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1 Lintasan Euler pada graf Gambar 5.42(b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3 Sirkuit Euler pada graf Gambar 6.42(c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 Sirkuit Euler pada graf Gambar 6.42(d) : a, c, f, e, c, b, d, e, a, d, f, b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler (a) dan (b) graf semi-Euler (c) dan (d) graf Euler (e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler

Teorema Untuk Lintasan dan Sirkuit Euler “Graf tak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika terhubung dan mempunyai 2 buah vertex berderajat ganjil atau tidak ada vertex berderajad ganjil samasekali” “Graf tak berarah G adalah graf Euler jika hanya jika setiap vertex berderajad genap”

Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap vertex di dalam graf tepat satu kali. Suatu graf terhubung G memiliki Sirkuit Hamilton bila ada sirkuit yang mengunjungi setiap titiknya tepat satu kali (kecuali titik awal dan titik akhir). Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

Gambar di bawah menyatakan peta kota A Gambar di bawah menyatakan peta kota A..G dan jalan-jalan yang menghubungkan kota-kota tsb. Seorang salesman akan mengunjungi tiap kota masing-masing 1 kali dari kota A kembali lagi ke kota A. Carilah rute perjalanan yang harus dilalui salesman tsb ! A B C D E F G j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9 j10 j11

Traveling Salesman Problem TSP atau Traveling Salesman Problem adalah salah satu masalah distribusi yang cukup lama dibahas dalam kajian optimasi. Masalahnya adalah bagaimana seorang salesman mengunjungi seluruh kota di suatu daerah dan kembali ke kota awal keberangkatan dengan aturan bahwa tidak boleh ada kota yang dikunjungi lebih dari satu kali.

Berikut adalah aturan-aturan yang mengidentifikasikan bahwa permasalahan tersebut adalah TSP: Perjalanan dimulai dan diakhiri di kota yang sama sebagai kota asal sales. Seluruh kota harus dikunjungi tanpa satupun kota yang terlewatkan. Salesman tidak boleh kembali ke kota asal sebelum seluruh kota terkunjungi. Tujuan penyelesaian permasalahan ini adalah mencari nilai optimum dengan meminimumkan jarak total rute yang dikunjungi dengan mengatur urutan kota.

I1 = (a, b, c, d, a)  bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 I2 = (a, c, d, b, a)  bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 I3 = (a, c, b, d, a)  bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32   Sirkuit Hamilton terpendek: I3 = (a, c, b, d, a) dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32. Jika jumlah vertex n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6  1016 penyelesaian.

Sirkuit Hamilton vs Euler Perbedaan Sirkuit Euler dengan Sirkuit Hamilton : Dalam Sirkuit Euler semua garis harus dilalui tepat satu kali, sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari sekali. Dalam Sirkuit Hamilton semua titiknya harus dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melalui semua garis.

Tugas 1 Apakah ada lintasan Euler? Jika ada sebutkan lintasannya! Apakah ada sirkuit Euler? Jika ada sebutkan lintasannya!

Tugas 2 Apakah ada lintasan Euler? Jika ada sebutkan lintasannya! Apakah ada sirkuit Euler? Jika ada sebutkan lintasannya!

Tugas 2 Tentukan 1 buah sirkuit hamilton dari graf di bawah ini!