Rumus Trigonometri Dua Sudut

tayangan ini anda dapat Tujuan Umum Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan rumus jumlah, selisih dan perkalian dua sudut, sinus dan cosinus

Rumus Jumlah dan Selisih Cos (𝛼±𝛽) Cos (𝜶−𝜷) = cos 𝜶. cos 𝜷+ sin 𝜶. sin 𝜷 Cos (𝜶+𝜷) = cos 𝜶. cos 𝜷− sin 𝜶. sin 𝜷

Rumus Jumlah dan Selisih Sin (𝛼±𝛽) Sin (𝜶−𝜷) = sin 𝜶. cos 𝜷− sin 𝜷. cos 𝜶 Sin (𝜶+𝜷) = sin 𝜶. cos 𝜷+ sin 𝜷. cos 𝜶

Rumus Jumlah dan Selisih Tan (𝛼±𝛽) Tan (𝜶+𝜷) = 𝒕𝒂𝒏 𝜶+𝒕𝒂𝒏 𝜷 𝟏−𝒕𝒂𝒏 𝜶. 𝒕𝒂𝒏 𝜷 Tan (𝜶−𝜷) = 𝒕𝒂𝒏 𝜶−𝒕𝒂𝒏 𝜷 𝟏+𝒕𝒂𝒏 𝜶. 𝒕𝒂𝒏 𝜷

Tentukan nilai sin 15° ! Contoh 1 Penyelesaian : sin 15° = sin (45° - 30°) = sin 45°. Cos 30° - sin 30°. Cos 45° = 1 2 2 . 1 2 3 − 1 2 2 . 1 2 = 1 4 6 − 1 4 2 sin 15° = 1 4 ( 6 − 2 )

Tentukan nilai cos 165° ! Contoh 2 Penyelesaian : Cos 165° = cos (120° + 45°) = cos 120°. cos 45° - sin 120°. sin 45° = − 1 2 . 1 2 2 − 1 2 3 . 1 2 2 = − 1 4 2 − 1 4 6 cos 165° = − 1 4 ( 2 + 6 )

Tentukan nilai tan 105° ! Contoh 3 Penyelesaian : Tan 105° = tan (60° + 45°) = tan 60°+ tan 45° 1− tan 60°.tan 45° = 3 + 1 1 − 3 . 1 = 3 + 1 1 − 3 = 1+ 3 1 − 3 . 1+ 3 1 + 3 = 1+ 3 2 1 −3 = 1+3+2 3 −2 = 4+2 3 −2 = -2 - 3

Contoh 4 Diketahui sin A = 4 5 dan cos B = 12 13 , dengan A dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B) ! Penyelesaian : Sin A = 𝑦 𝑟 sehingga y = 4 dan r = 5, maka x = 𝑟 2 − 𝑦 2 = 3 Cos B = 𝑥 𝑟 sehingga x = 12 dan r = 13, maka y = 𝑟 2 − 𝑥 2 = 5

Penyelesaian Diperoleh : Sin A = 4 5 dan cos A = 3 5 Cos B = 12 13 dan sin B = 5 13 Maka : Cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B = 3 5 . 12 13 - 4 5 . 5 13 = 36 65 - 20 65 = 16 65

Aktivitas Kelas

Sin 2 𝜶 = 2 sin 𝜶. cos 𝜶 Sin 2 𝜶 Rumus Sudut Rangkap = sin 𝜶. cos 𝜶 + sin 𝜶. cos 𝜶 = 2 sin 𝜶. cos 𝜶 Sin 2 𝜶 = 2 sin 𝜶. cos 𝜶

cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Cos 2 𝜶 Rumus Sudut Rangkap = cos 𝜶.cos 𝜶 + cos 𝜶. cos 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶

cos 2 𝜶 = 𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Rumus Sudut Rangkap = (1− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶) - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 = 𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 cos 2 𝜶 = 𝟏−𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶

cos 2 𝜶 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶−𝟏 Cos 2 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜶 Rumus Sudut Rangkap = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶 - (𝟏− 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶−𝟏 cos 2 𝜶 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜶−𝟏

Tan 2 𝜶 = 𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜶 Tan 2 𝜶 Rumus Sudut Rangkap = 𝒕𝒂𝒏 𝜶 + 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏−𝒕𝒂𝒏 𝜶.𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜶 Tan 2 𝜶 = 𝟐. 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝟏− 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜶

Sin 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 cos 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟏+𝒄𝒐𝒔 Rumus Lain Sin 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 cos 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟏+𝒄𝒐𝒔 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 tan 𝟏 𝟐 𝜶= ± 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒔𝒊𝒏 𝜶

Rumus Lain sin 𝜶 cos 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒔𝒊𝒏(𝜶+𝜷)+𝒔𝒊𝒏(𝜶−𝜷)} cos 𝜶 sin 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 −𝒔𝒊𝒏(𝜶−𝜷)} cos 𝜶 cos 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔(𝜶+𝜷)+𝒄𝒐𝒔(𝜶−𝜷)} sin 𝜶 sin 𝜷 = - 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 −𝒄𝒐𝒔(𝜶−𝜷)}

Rumus Lain sin 𝜶+ sin 𝜷 = 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} sin 𝜶- sin 𝜷 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} cos 𝜶+ cos 𝜷 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} cos 𝜶- cos 𝜷 = -𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)}

Contoh 1 Hitunglah nilai sin 2B, cos 2B, dan tan 2B, jika sin B = 3 5 dan B sudut lancip ! Penyelesaian : Diketahui sin B = 3 5 , maka y = 3 dan r = 5, sehingga diperoh x = 4 Maka sin B = 3 5 ; cos B = 4 5 , dan tan B = 3 4

Penyelesaian Sin 2B = 2 sin B. Cos B = 2. 3 5 . 4 5 = 24 25 Cos 2B = 𝑐𝑜𝑠 2 𝐵− 𝑠𝑖𝑛 2 𝐵 = 4 5 2 − 3 5 2 = 16 25 − 9 25 = 7 5

Penyelesaian tan 2B = 2 tan 𝐵 1− 𝑡𝑎𝑛 2 𝐵 = 2 3 4 1− 3 4 2 = 6 4 1− 9 16 = 6 4 17 16 = 6 4 . 16 7 = 24 7

Contoh 2 Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari cos 22,5 ° dan sin 112,5 ° ! Penyelesaian : Perhatikan bahwa 22,5 ° terletak dikuadran I. Dengan demikian cos 22,5 ° bernilai positif. Sudut 22,5 ° merupakan setengah dari 45 ° maka …

Penyelesaian Nilai cos 22,5 ° dapat dicari dengan menggunakan rumus setengah sudut, yaitu cos 𝟏 𝟐 𝜶= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐 cos 22,5 ° = cos 𝟏 𝟐 ( 𝟒𝟓 ° )= 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓 ° 𝟐 = 𝟏+ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟐

Penyelesaian = 𝟏 𝟒 𝟐+ 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟐+ 𝟐 Begitu juga untuk 11 2,5 ° dapat dicari seperti langkah-langkah di atas.

Contoh 2 Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari cos 105 ° . cos 15 ° dan sin 75 ° + sin 15 ° ! Penyelesaian : cos 105 ° . cos 15 ° dapat dihitung dengan rumus perkalian dua sudut, yaitu : cos 𝜶 cos 𝜷 = 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔(𝜶+𝜷)+𝒄𝒐𝒔(𝜶−𝜷)} Maka …

Penyelesaian cos 𝟏𝟎𝟓 ° cos 𝟏𝟓 ° = = 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟓 ° + 𝟏𝟓 ° +𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝟓 ° − 𝟏𝟓 ° = 𝟏 𝟐 {𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟐𝟎 ° )+𝒄𝒐𝒔( 𝟗𝟎 ° )} = 𝟏 𝟐 {− 𝟏 𝟐 +𝟎} = − 𝟏 𝟒

Penyelesaian sin 𝟕𝟓 ° + sin 𝟏𝟓 ° dapat dihitung dengan rumus penjumlahan dua sudut, sin 𝜶+ sin 𝜷 = 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝜶+𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝟏 𝟐 (𝜶−𝜷)} coba anda selesaikan !

Aktivitas Kelas

Contoh soal & Penyelesaian

Latihan Soal Nyatakan 2cos100°.cos35° sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - ) 2cos100°.cos35° = cos(100 + 35)° + cos(100 - 35)° = cos135° + cos 65°

Latihan Soal 2. Nyatakan 2cos45°.cos15° sebagai bentuk penjumlahan, kemudian tentukan nilainya. Bahasan: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - ) 2cos45°.cos15° = cos(45 + 15)° + cos(45 - 15)° = cos60° + cos 30°

Jadi, nilai 2cos45°.cos15° adalah : ½(1 + √3) Latihan Soal 2cos45°.cos15° = cos60° + cos 30° = ½ + ½√3 = ½(1 + √3) Jadi, nilai 2cos45°.cos15° adalah : ½(1 + √3)

= cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + Latihan Soal 3. Sederhanakan : 2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π) Bahasan: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - ) 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}

Latihan Soal 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)} = cos2p +cos½π = cos2p + 0 Jadi, bentuk sederhana dari 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p

Latihan Soal 4. Nyatakan 2sin40°.sin20° sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + ) 2sin40°.sin20° = cos(40 - 20)° - cos(40 + 20)° = cos20° - cos60° = cos20° - ½

Latihan Soal 5. Hitunglah sin75°.sin15° Bahasan: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + ) sin75°.sin15° = ½(2sin75°.sin15°) = ½{cos(75 - 15)° - cos(75 + 15)°} = ½(cos60° - cos90°) = ½( ½ - 0) = ¼

Latihan Soal 6. Nyatakan bentuk 2sin½π.sin¼π sebagai bentuk penjumlahan, kemudian tentukan nilainya. Bahasan: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + ) 2sin½π.sin¼π = cos(½π - ¼π) - cos(½π + ¼π) = cos¼π - cos¾π

Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2 Latihan Soal 2sin½π.sin¼π = cos¼π - cos¾π = ½√2 – (-½√2) = ½√2 + ½√2 =√2 Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2

Latihan Soal 7. Nyatakan 2sin80°.cos50° sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2sincos = sin( + ) + sin( - ) 2sin80°cos50° = sin(80 + 50)° + sin(80 - 50)° = sin130° + sin 30° = sin 130 + ½

Latihan Soal 8. Nyatakan 2sin3A.cosA sebagai bentuk penjumlahan. Bahasan: 2sincos = sin( + ) + sin( - ) 2sin3AcosA = sin(3A + A)° + sin(3A - A)° = sin4A + sin A

10. Hitunglah nilai 4 sin 1 8 𝜋 cos 3 8 𝜋 Bahasan: Latihan Soal 10. Hitunglah nilai 4 sin 1 8 𝜋 cos 3 8 𝜋 Bahasan: 2sin.cos = sin( + ) + sin( - ) = = 2. =2.{1 - sin¼π}

Latihan Soal

Thank You !