APLIKASI INTEGRAL TENTU

Aplikasi Integral Tentu Luas diantara 2 kurva Volume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) Volume benda putar (dengan metode kulit tabung) Luas permukaan benda putar Momen dan pusat massa

1. LUAS DIANTARA 2 (DUA) KURVA

Cara menghitung : 1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang sama besar kemudian tentukan irisan ke-i dengan membuat persegi panjang beralas x dan tinggi f(xi*)- g(xi*)

2. Jumlahkan semua persegi panjang yang telah dibuat 3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan

Luas A dari S sebagai nilai limit dari jumlah persegi panjang Luas A yang dibatasi kurva y=f(x), y=g(x) dan garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu dan f(x) ≥ g(x) untuk semua x pada selang [a,b] adalah

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh parabola y = x2 dan y = 2x-x2

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh parabola y = x2 dan y = 2x-x2 * Cari titik potong  batas atas dan bawah y1 = y2 x2 = 2x-x2 2x2-2x x (x-1) = 0 Jadi x = 0 atau x = 1 Titik potongnya = (0,0) dan (1,1) y1= x2 dan y2 = 2x-x2 Luas persegi panjang khas : (y2-y1)x = (2x-x2-x2)x Daerah terletak diantara x=0 dan x=1

Luas total 

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG Volume benda padat yang luas penampangnya A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah Langkah-langkah mencari : Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari Carilah luas A(x) Carilah batas-batas integrasi Integralkan

METODE CAKRAM 1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y=x, sumbu x dan garis x=4, bila R diputar mengelilingi sumbu x. Volume = A x h = (x)2 . x

Bila volume tabung2 dijumlahkan lalu diintegralkan

METODE CINCIN V= (r22-r12)h Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu putarnya  kita akan memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian tengahnya (disebut cincin) V= (r22-r12)h r1 = jari-jari dalam r2 = jari-jari luar h = tebal cincin

Contoh : Tentukan volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh parabola y=x2 dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x. Titik potong (0,0) dan (2,4) V  [ (8x)2- (x2)2 ] x

Titik potong (0,0) dan (2,4)

3. VOLUME BENDA PUTAR : KULIT TABUNG Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit. V=(luas alas) . (tinggi) = (r22- r12) h = (r2 + r1) (r2 - r1) h

V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal sehingga V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal V= 2  r h r

Jika dibuat potongan jalur yang vertikal dan diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk benda seperti kulit tabung.

Untuk memperoleh volume, hitung V dari kulit tabung, jumlahkan lalu tarik limit jumlahnya shg menghasilkan sebuah integral

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x, sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume benda yang terbentuk dengan metode kulit tabung

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x, sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume benda yang terbentuk dengan metode kulit tabung Jawab

4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR Diketahui x=f(t) dan y=g(t), atb, adl pers kurva licin pada bidang xy yang terbagi menjadi n bagian. Bila kurva itu diputar mengelilingi sumbu x, ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian Si akan membentuk permukaan bagian. Luas bagian ini dpt didekati oleh luas kerucut terpancung yakni 2yiSi

Kurva y=f(x) pada batas axb, diputar mengelilingi sumbu x, maka luasnya adalah

5. MOMEN DAN PUSAT MASSA Hasilkali massa m dan jarak berarah dari suatu titik disebut momen benda thd titik tersebut m M = x . m x Jumlah momen M suatu sistem yg terdiri dari n massa sebesar m1, m2,…mn yg berada pd x1,x2,…xn, yaitu : M= x1m1 + x2m2+…+ xnmn =

Syarat keseimbangan  M = 0 mn-1 mn x1 x2 x3 xn-1 xn Dimanakah koordinat x titik seimbang itu? (Misalnya titik seimbang = x), maka momen sistem HARUS NOL (x1-x)m1 + (x2-x)m2+…+ (xn –x)mn = 0 atau x1m1 + x2m2+…+ xnmn = xm1+xm2 +…+xmn

sehingga x dinamakan pusat massa dan titik ini seimbang

Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis Titik berat kawat yang berada pada suatu sistem koordinat dimana kepadatannya sebesar (x) adalah a b x x sehingga

Distribusi massa pada bidang Jumlah momen m1 m2 (x1,y1) (x2,y2) m3 mn (x3,y3) (xn,yn) Koordinat titik berat sistem tersebut :

Contoh : Kepadatan (x) sepotong kawat disebuah titik yg terletak x cm dari salah satu ujungnya (x)= 3x2 gr/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x=0 dan x=10 Jawab :