BAB 12 OPTIMASI DENGAN KENDALA-KENDALA KESAMAAN Tingkat optimum baru yang memenuhi kuota produksi merupakan sebuah optimal terkendala, yang secara umum, mungkin berbeda dengan optimal bebas. Hanya ketergantungan variabel-variabel sebagai variabel pilihan lah yang menciptakan optimal terkendala. Kendala-kendala kesamaan itu misalnya : Q₁+Q₂=950 Tujuan utamanya adalah ekstrema terkendala relatif,sekalipun yang absolut.

12.1 EFEK DARI SUATU KENDALA Tujuan utama digunakannya sebuah kendala adalah memberi tanggung jawab kepada faktor-faktor pembatas tertentu dalam masalah optimisasi. Misalkan seorang konsumen dengan fungsi (indeks) utilitas sederhana sebagai berikut:

Karena utilitas marjinal-yaitu derivatif parsial U₁≡∂U/∂ᵪ₁ dan U₂≡∂U/ᵪ₂ adalah positif untuk semua nilai χ₁ dan χ₂ yang positif, maka untuk memperoleh nilai U yang maksimal tanpa pembatas apapun, seorang konsumen harus membeli kedua barang diatas secara tak terbatas, sebuah pemecahan yang jelas kecil kemungkinannya untuk terjadi dalam pabrik. Supaya masalah optimisasi ini berguna,daya beli konsumen harus pula diperhitungkan, yakni kendala anggaran (budget constraint) harus dimassukkan kedalam permasalahan. Jika konsumen ingin membelanjakan sejumlah uang, katakanlah 60 dolar, untuk kedua barang tersebut dan jika harganya P₁₀=4 dan P₂₀=2, maka kendala anggaran dapat dinyatakan dengan persamaan linear berikut: 4ᵪ₁+2ᵪ₂=60

12.2 Pencarian Nilai-Nilai Stasioner Metode Pengali - Lagrange Inti pokok metode pengeli-Lagrange adalah mengubah persoalan titik ekstrem kendala menjadi bentuk sedemikian rupa sehingga syarat orde pertama dari persoalan ekstrem bebas dapat dilaksanakan. Scara umum, jika diketahui fungsi objektif z = f(x,y) dengan kendala g(x,y) = c Kita dapa menuliskan fungsi Lagrangian : Z= f(x,y) + ƛ [c – g (x,y) ] Contoh : carilah titik ekstrem dari z = xy dengan syarat x + y = 6 Jawab : Z = xy + ƛ(6 – x – y) Z ƛ = 6 – x – y = 0 Zx = y – ƛ = 0 Zy = x – ƛ = 0 Dengan aturan Cramer, atau metode lain akan kita dapatkan ƛ* = 3 x* = 3 y* = 3 Nilai stasioner Z* = z* = 9

Pendekatan Diferensial Total z = f (x,y) g (x,y) = c dz = fx dx + fy dy = 0 dg = gy dx + gy dy = 0 fx / gx = ƛ fy / gy = ƛ Kasus n-Variabel dan Multikendala Fungsi objektif : z = f (x1, x2, . . . , xn) dengan Syarat kendala : g (x1, x2, . . . , xn) = c Fungsi Lagrangian akan menjadi : Z = f(x1,x2, ..., xn) + ƛ[c – g (x1,x2, ... , xn)] Jika ada 2 kendala : g(x1,x2, … , xn) = c dan h(x1,x2, …, xn) = d Maka, Z = f(x1,x2, ..., xn) + ƛ[c – g (x1,x2, ... , xn)] + µ[d – h (x1,x2, ... , xn)]

12.3 Syarat orde ke dua Diferensial total orde ke dua: Syarat perlu orde ke dua untuk max z: semidefinit negative, dengan syarat dg=0 untuk min z: semidefinit posiitif, dengan syarat dg=0 Syarat cukup orde ke dua untuk max z: definit negative, dengan syarat dg=0 untuk min z: definit positiif, dengan syarat dg=0 Hessian terbatas (bordered) dengan syarat  

12. 4 Kuasai Kecekungan dan Kuasi Kecembungan Kuasi kecekungan (sebagai ganti kecekungan) untuk suatu maksimum, dan kuasi kecembungan (sebagai ganti kecembungan) untuk suatu minimum. Kuasi kecekungan (kuasai kecembungan) merupakan kondisi yang lebih lemah dari kecekungan (kecembungan).   Sifat-sifat Geometri Kuasi kecekungan dan kuaai kecembungan, sebagaimana kecekungan dan kecembungan, dapat bersifat mutlak atau tidak mutlak. Pertama-tama kita akan menyajikan sifat geometri dari konsep-konsep tersebut: Misalkan u dan v merupakan dua titik yang berbedan dalam domain (suatu himpunan cembung) fungsi f , dan misalnya segmen garis-uv dalam domain memberiakn kenaikan busur MN pada grafik fungsi sedemikian rupa sehingga titik N lebih tinggi atau sama dengan tingginya titik M. Maka fungsi f disebut jugha kuasi cekung (kuasai cembung), jikak semua titik M (lebih rendah dari atau sama dengan titik N). Fungsi f dizsebut fungsi cekung sempurna (kuasi cembung sempurna) jika semua titik-titik pada busur MN selain M dan N muutlak lebih tinggi dadri titik M (mutlak lebih dari titk N).

Definisi secara Alajabar Sifat geometri dapat diterjemahkan ke dalam uatu definisi aljabar guna generalisasi yang lebih mudah kasus dengan dimensi yang lebih tinggi: Suatu fungsi f adalah {kuasi cekung, kuasi cembung} jika dan hanya jika, untuk setiap pasangan titik yang berebeda u dan v dalam dominan (cembung) dari f dan untuk 0 < ϴ < 1 f(v) ≥ f(u) → f[ϴ u + (1 - ϴ ) v ] {≥ f(u) , ≤ f(v)}

Dalil I (negatif dari fungsi) bila f(x) adalah kuasi cekung (kuasi cekung smpurna), maka –f(x) adalah kuasi cembung (kuasi cembung sempurna)fungsi ceung sempurna (cembung sempurna) adalah kuasi cekung (kuasi cembung s Dalil II (kecekungan lawan kuasi kecekungan) setiap fungsi cekung (cembung) adalah kuasi cekung (kuasi cembung), tetapi tidak sebaliknya. Sama halnya, setiap fungsi cekung sempurna (cembung sempurna) adalah kasi cekung (kuasi cembung sempurna), tetapi tidak sebaliknya. Dalil III (fungsi linier) jika f(x) adalah fungsi linier, maka fungsi ini merupakan kuasi cekung dan juga kuasi cembung Fungsi-fungsi yang Dapat Didiferensialkan sebuah fungsi satu variabel yang terdapat dideferensialkan, f(x) adalah { kuasi cekung, kuasi cembung} jika dan hanya, untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda dalam domain tersebut f(v) ≥ f(u) → { f’(u) (v-u) , f’(v) (v – u) ≥ 0

BAB 12.5 Memaksimumkan Utilitas dan Permintaan Konsumen Memaksimalkan nilai guna (utility) Dalam keadaan dimana harga-harga berbagai macam barang adalah berbeda, syarat yang harus dipenuhi untuk memberikan nilai guna yang maksimum adalah : Seseorang akan memaksimumkan nilai guna dari barang-barang yang dikonsumsinnya apabila perbandingan nilai guna marginal berbagai tersebut adalah samadengan perbandingan harga-harga barang tersebut Seseorang akan memaksimumkan nilai guna dari barang-barang yang dikonsumsinnya apabila nilai guna marginal untuk setiap rupiah yang dikeluarkan adalah sama untuk setiap barang yangdikonsumsikan Daya beli masyarakat : B Dengan syarat Bentuk permaksimuman fungsi utilitas yang mulus U = U (x,y) (Ux’ Uy > 0)

SYARAT ORDE PERTAMA Fungsi lagrange dari model optimasi adalah Misalkan ada himpuan persamaan simultan : Maka, akan ekuivalen dengan Apabila kita nyatakan kembali dalam kondisi Kita akan memperoleh   pada kurva indeferens

SYARAT ORDE KEDUA Jika hessian terbatas pd persoalan yg sekrg positif, yakni jika Dengan semua deriviatif di nilai pada nilai kritis x* dan y*, maka nilai stasioner U dipastikan pada tingkat maksimum Pada contoh diatas adanya deriviatif menjelaskan bahwasannya untuk memenuhi kondisi ini disarankan adannya batasan tertentu pada fungsi utilitas .

Analisis statis -komparatif Dalam model konsumen, Px dan Py adalah eksogen pada suatu himpunan persamaan Dimana setiap fungsi mempunyai deviriatif parsial kontinu. Variabel endogen Jacobian dan himpunan persamaan harus mempunnyai nilai yang sama seperti Hessian terbatas. Jadi bila syarat orde dua dipenuhi harus bernilai positif Perubahan proposional dalam harga dan Pendapatan Hal yg juga penting adalah memperasalahkan bagaimana x* dan y* akan terpengaruh bila ketiga parameter diubah dalam proporsi yg sama.

Apabila kedua harga naik, bersama-sama dengan pendapatan, dg kelipatan yg sama besar, seperti J, setiap suku pd kendala anggaran akan naik sebesar J. Menjadi Fungsi utilitas lain adalah independen dri parameter-parameter. Akibatnya tingkat keseimbangan x dan y yg lama akan terus berlaku, yakni fungsi keseimbangan konsumen pd model2 tidaklah bervariasi sesuai dg perubahan proposional yg sma pd semua harga dan pendapatan. Secara simbolik di gambarkan seperti :

12.6 Fungsi Homogen Fungsi homogen : f (jx1 , … , jxn) = jr f (x1, … , jxn ) Homogenitas Linear Q = f ( K,L ) Sifat I : Sifat II : Misal setiap variabel dikalikan dengan j = 1/L Maka, Q menjadi jQ = Q/L Jadi,

Sifat III Fungsi Produksi Cobb-Douglas : Perluasan Hasil

12.7 Kombinasi Input dengan Biaya Terkecil Syarat Orde Pertama Rasio harga input terhadap produk marjinal harus sama untuk setiap input pada titik kombinasi input yang optimal Syarat Orde Kedua ( Jalur Ekspansi ) Semua titik pada jalur ekspansi harus menunjukkan rasio input yang tetap dan sama Fungsi Homotetik Juga dapat ditulis Rasio input optimal Kemiringan Isokuan Kemiringan Isokuan Q

Nilai K dan L didefinisikan positif Elastisitas Substitusi Besarnya substitusi input dapat diukur dengan rumus elastisitas titik berikut ini Fungsi Produksi CES Persamaan umum Nilai K dan L didefinisikan positif Kemiringan isokuan ( dengan K diletakkan secara vertikal dan L secara horizontal)

13.1 Pemograman Nonlinear dan Kondisi Kuhn-Tucker Dengan pembatas linear mempunyai bentuk dasar sebagai berikut : minimize f (x) subject to Ax = b , x ≥ 0 dimana, f(x) dapat diturunkan terus menerus dan convex dari Rn sampai R. Rn = himpunan bilangan real berdimensi n Rmxn = himpunan bilangan real berdimensi mxn A∈Rmxn = matriks A yang anggota himpunannya bilangan real dimensi mxn dan x, b ∈Rm

Kondisi Optimal Berdasarkan kondisi KKT, x* merupakan solusi optimal dari permasalahan tersebut jika dan hanya jika terdapat y* ∈Rm se-hingga (x*, y*) harus memenuhi kondisi berikut: Ax − b = 0 , ∇f (x) − AT y ≥ 0, xT (∇f (x) − AT y) = 0 Ketiga kondisi di atas ekivalen dengan : Ax – b = 0 (x-x*)T ( ∇ f(x) – ATy) ≥ 0 , ∀ x ≥ 0

13.2 Kualifikasi Kendala Ketidakteraturan pada titik batasan - memaksimalkan Π = x1 dengan kendala x2-(1-x1)43 ≤ 0 dan x1, x2 ≥ 0 - menambahkan suatu kendala baru 2x1 + x2 ≤ 2 Kualifikasi kendala Jika variabel pilihan ke j memiliki nilai nol pada titik x , kita hanya mengizinkan perubahan non negatif pada sumbu x1 yaitu : dxj ≥ 0 jika x*j = 0 Jika kendala ke I benar benar dipenuhi pada titik x*, maka berarti dgi(x*) = gi1 dx1 + gi2dx2+…………..+gindxn (≤ 0 (maks), ≥ 0 (min), jika gi(x*) =ri ) Kendala Linear Jika daerah layak merupakan suatu himpunan cembung yang hanya dibentuk oleh kendala linear, maka kualifikasi kendala pasti akan dipenuhi dan kondisi Kuhn Tucker akan selalu berlaku pada pemecahan optimal

13.3 Aplikasi ekonomi Penjatahan sembako di waktu perang. Pada saat terjadi perang maka negara akan memberikan kupon untuk ditukarkan dengan sembako.pada saat seperti ini maka konsumen (masyarakat) harus membayar dua harga,yaitu harga kupon dan harga moneter

Penetapan harga beban puncak Penetapan harga beban puncak dan bukan beban puncak Sering kali ditemui pada perusahaan dengan proses produksi berkapasitas terbatas. Contoh umumnya adalah sekolah/universitas,dibangun untuk memenuhi kebutuhan siswa/mahasiswa (konsumen) pada siang hari (beban puncak),tapi kadang menawarkan kelas pada malam hari (bukan beban puncak) Walaupun pasar sekunder lebih kecil dari pasar primer,untuk mendapatkan laba yang lebih besar,pada saat pasar primer (beban puncak) melampaui kapasitas,maka pasar sekunder dapat menjadi alternatif dengan tingkat laba yang lebih rendah untuk maksimalisasi laba

13.4 Dalil kecukupan Kuhn-Tucker : Pemrograman Cekung Memaksimalkan ∏ = f (x) Dengan kendala gi (x) ≤ ri (i= 1,2,. . ., m) Dan x ≥ 0 Jika persyaratan berikut dipenuhi : Fungsi tujuan f(x) dapat dibedakan dan cekung dalam orthant nonnegatif Setiap fungsi kendala gi (x) dapat dibedakan dan cembung dalam orthant non negatif Titik x* memenuhi kondisi maksimum global ∏ = f (x)

Dengan masalah pemrograman nonlinier Dalil kecukupan Arrow-Enthoven: Pemrograman Kuasi Cekung Dengan masalah pemrograman nonlinier Memaksimalkan ∏ = f (x) dengan kendala gi (x) ≤ ri (i= 1,2,. . ., m) Dan x ≥ 0 Jika syarat syarat berikut dipenuhi : Fungsi tujuan f (x) dapat didiferensiasikan dan kuasi cekung dalam orthant nonnegatif. Setiap fungsi kendala gi (x) dapat didiferensiasikan dan kuasi cembung dalam orthant nonnegatif Titik x* memenuhi kondisi maksimum Kuhn-Tucker Salah satu dari hal berikut dipenuhi (d-i) fj (x*) < 0 untuk setidaknya satu variabel xj (d-ii) fj (x*) > 0 untuk beberapa variabel xj yang dapat mengambil nilai positif tanpa melanggar kendala (d-iii) turunan n dari fj (x*) tidak semuanya 0, dan fungsi f(x) dapat diturunkan dua kali dalam lingkungan x*. (misal, semua turunan parsial orde kedua dari f(x) muncul pada x* ) (d-IV) fungsi f(x) berwujud cekung

13.5 Fungsi Nilai Maksimum dan Dalil Envelope Dalil envelope untuk Optimisasi yang tak terkendali. Fungsi tujuan ini tidak langsung menelusuri semua nilai maksimum dari fungsi tujuan karena parameter ini bervariasi. Oleh karena itu,fungsi tujuan tidak langsung merupakan suatu “envelope” dari sekumpulanfungsi tujuan yang dioptimalkan, yang dibuat dengan memvariasikan parametr dari model.

Penerapan Nilai Maksimum dalil Envelope Fungsi Laba Kondisi Resipositas

Dalil Envelope untuk optimisasi Terkendala. Interpretasi dari Pengali Lagrange menunjukan bahwa nilai optimal mengukur tingkat perubahan dari nilai maksimum fungsi tujuan.

13.6. Dualitas dan Dalil Envelope Masalah Primal Misalkan U(x,y) adalah fungsi utilitas dimana x dan y barang konsumsi. Konsumen memiliki anggaran B dan menghadapi harga pasar Px dan Py untuk barang x dan y , dianggap masalah primal Memaksimalkan U=U(x,y) Dengan kendala Pxx+Pyy=B Lagrangiannnya : Z=U(x,y) + (B-Pxx-Pyy) Syarat orde pertama adalah Zx = Ux – Px = 0 Zy = Uy – Py = 0 = B – Pxx – Pyy = 0 Sistem persamaan ini memecahkan masalh xm, ym, dan m, pemecahan xm dan ym fungsi permintaan konsumen biasa, dan cara memasukkan ke fungsi utilitas : U* = U* (xm(Px, Py, B), ym (Px,Py,B))V(Px, Py, B)

Masalah Dual Tujuan meminimalkan pengeluaran atas x dan y dengan mempertahankan utilitas U* Meminimalkan E=Pxx + Pyy Dengan kendala U(x,y) = U* Lagrangiannya Zd = Pxx +Pyy + [U* - U(x,y)] Syarat Orde Pertama = Px – Ux = 0 = Py – Uy = 0 = U* - U(x,y) = 0 Sistem persamaan ini menentukan serangkaian nilai dari xh, yh, , xh dan yh (pendapatan riil dianggap konstan) atau Hickisan sehingga diberi tanda tikatas h Pxxh(Px, Py, U*) + Pyyh(Px,Py,U*) E(Px, Py, U*)

Jika menghilangi pengali Lagrange, dapat ditulis Dualitas Jika menghilangi pengali Lagrange, dapat ditulis Lalu akan kita dapatkan Identitas Roy Adalah fungsi permintaan konsumen Marshallian individual sama dengan negatif dari rasio dua derivatif parsial dari fungsi nilai maksimum Hasil ini, dikenal identitas Roy, menunjukka permintaan Marshallian untuk komoditas x adalah negatif dari rasio dua derivatif parsial dari fungsi nilai-maksimum V terhadap Px dan B. Lemma Shephard Dengam menggunakan derivatif parsial dari fungsi ini terhadap Px dan Py dan mengevaluasinya pada optimum, kita menemukan bahwa mewakili permintaan Hicksian konsumen. Pendekatan Hotelling memiliki pendapatan serupa yang diterapkan pada fungsi pengeluaran menghasilkan lemma Shephard’s