(Basic Control System) DASAR SISTEM KONTROL (Basic Control System) Tim Penyusun: Ir. Porman Pangaribuan, M.T. Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T. Agung Surya Wibowo, M.T. Cahyantari Ekaputri, M.T. Program Studi S1 Teknik Elektro

TANGGAPAN FREKUENSI: BODE DIAGRAM Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Learning Outcomes Mahasiswa mampu membandingkan respon frekuensi. Mahasiswa mampu melakukan analisis respon/tanggapan frekuensi dari plot bode diagram. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Tanggapan Frekuensi Yaitu tanggapan keadaan tunak terhadap masukan berbentuk sinusoidal. Metode konvensional dilakukan dengan cara mengubah frekuensi masukan lalu diamati respon/tanggapannya terhadap perubahan frekuensi tsb. Beberapa Analisis Tanggapan Frekuensi: Diagram Bode Kompensasi performansi sistem mudah dilakukan dgn diagram Bode. Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat dilakukan dgn mudah. Diagram Polar/Nyquist Kestabilan (mutlak & relatif) sistem lup tertutup dengan mudah dicari dari tanggapan frekuensi lup terbuka. Menggambarkan tanggapan frekuensi untuk semua rentang frekuensi (𝜔=0 s.d. 𝜔→∞). Log Magnitude vs Phase Plot/Diagram Nichols (tidak dipelajari di perkuliahan ini) Perubahan konstanta penguatan 𝐺 𝑗𝜔 tidak mengubah bentuk, hanya menggeser ke atas & bawah. Kestabilan relatif lup tertutup mudah dicari. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Seputar Tanggapan Frekuensi Kestabilan sistem dapat ditentukan dgn tanpa mencari akar-akar persamaan karakteristiknya terlebih dulu (kriteria kestabilan Nyquist). Pengujian/eksperimen tanggapan frekuensi relatif mudah dan dapat dibuat akurat dgn menggunakan alat generator fungsi sinus sbg masukan. Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimen melalui pengujian tanggapan frekuensi. Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem-sistem yang memiliki fungsi rasional, misal sistem dgn transport lags (delay). Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi. Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan tanggapan frekuensi shg derau yang tak diinginkan pd frekuensi tertentu dapat dihilangkan. Analisis tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem kendali non linier tertentu. Tanggapan waktu alih dapat diketahui secara tak langsung melalui tanggapan frekuensinya. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Tanggapan terhadap Masukan Sinusoidal Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapat diperoleh langsung dari fungsi alih terhadap masukan sinusoidal. 𝐺 𝑠 →𝐺 𝑗𝜔 Diberikan sistem linier invarian-waktu sbb: Tanggapan sistem: 𝑌 𝑠 =𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝑝 𝑠 𝑞 𝑠 𝑋(𝑠) Misal masukan sistem: 𝑥 𝑡 =𝐴 sin 𝜔𝑡 ℒ 𝑋 𝑠 = 𝐴𝜔 𝑠 2 + 𝜔 2 Sehingga tanggapan sistem: 𝑌 𝑠 = 𝑝 𝑠 𝑞 𝑠 𝐴𝜔 𝑠 2 + 𝜔 2 = 𝑎 𝑠+𝑗𝜔 + 𝑎 𝑠−𝑗𝜔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 + 𝑏 1 𝑠+ 𝑠 1 + 𝑏 2 𝑠+ 𝑠 2 +…+ 𝑏 𝑛 𝑠+ 𝑠 𝑛 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Tanggapan terhadap Masukan Sinusoidal Tanggapan waktu sistem: 𝑦 𝑡 =𝑎 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝑏 1 𝑒 − 𝑠 1 𝑡 + 𝑏 2 𝑒 − 𝑠 2 𝑡 +…+ 𝑏 𝑛 𝑒 − 𝑠 𝑛 𝑡 , 𝑡≥0 Untuk sistem stabil asimtotik, akar-akar riilnya bernilai negatif, untuk 𝑡→∞, nilai 𝑒 − 𝑠 1 𝑡 , 𝑒 − 𝑠 2 𝑡 ,…, 𝑒 − 𝑠 𝑛 𝑡 akan mendekati nol. Sehingga pada kondisi tunak (steady state), tanggapan sistem yaitu: 𝑦 𝑠𝑠 𝑡 =𝑎 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 dimana: Terlihat bahwa untuk masukan sinusoidal: 𝐺 𝑠 →𝐺 𝑗𝜔 = G j𝜔 𝑒 𝑗𝜙 = G j𝜔 ∠𝐺 𝑗𝜔 dimana G j𝜔 menyatakan magnitudo, dan 𝜙 menyatakan sudut fasa. Sudut fasa bisa kita cari: 𝜙= tan −1 Im 𝐺 𝑔𝜔 Re 𝐺 𝑗𝜔 A Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Tanggapan terhadap Masukan Sinusoidal Kesimpulan: untuk sistem linier invarian-waktu, jika diberikan masukan berbentuk sinusoidal, pada keadaan tunak akan menghasilkan tanggapan sistem berbentuk sinusoidal pula dengan frekuensi keluaran sama dengan frekuensi masukan, hanya saja magnitudo & sudut fasanya bervariasi untuk setiap perubahan frekuensi. Respon magnitudo 𝐺 𝑗𝜔 & sudut fasa ∠𝐺(𝑗𝜔) tersebut yang akan kita gunakan sebagai acuan untuk menggambar diagram bode. A B Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Menggambar Diagram Bode/Bode Plot Bode diagram disebut juga dengan Plot Logaritmik. Bode diagram terdiri dari 2 buah grafik: Grafik logaritmik dari magnitudo fungsi alih, 20 log 𝐺(𝑗𝜔) , Grafik sudut fasa, ∠𝐺(𝑗𝜔). Standar untuk skala dari logaritmik magnitudo, 𝐺(𝑗𝜔), adalah 20 log 𝐺(𝑗𝜔) dalam satuan desibel (dB), dengan basis logaritma 10. Sementara untuk sudut fasa yaitu dalam derajat sudut (). Untuk menggambar bode diagram secara manual, digunakan kertas semilog. Dimana untuk absis yaitu frekuensi dalam skala logaritmik, sementara untuk ordinat magnitudo/sudut fasa dalam skala linier. Adapun secara simulasi, menggambar diagram Bode dapat dilakukan dengan bantuan MATLAB. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Bentuk-bentuk Dasar Fungsi: 𝐺 𝑗𝜔 𝐻(𝑗𝜔) Penguatan Proporsional, 𝑲. Faktor-faktor Integral dan Turunan, 𝒋𝝎 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-1, 𝟏+𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-2/Kuadratik, 𝟏+𝟐𝝃 (𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 + 𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 𝟐 ) ∓𝟏 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

1. Penguatan Proporsional: 𝐾 Diberikan sistem kontrol lup terbuka sbg berikut: 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 =𝐾 Tentukan magnitudo dan sudut fasa: Magnitudo: 20log 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 =20 log 𝐾 Sudut Fasa: ∠𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 =0° Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Gambar Bode Diagram: d (𝑑𝐵) 20 log 𝐾 𝜔 𝜙 0° 1. Magnitudo 2. Sudut Fasa Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Bentuk-bentuk Dasar Fungsi: 𝐺 𝑗𝜔 𝐻(𝑗𝜔) Penguatan Proporsional, 𝑲. Faktor-faktor Integral dan Turunan, 𝒋𝝎 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-1, 𝟏+𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-2/Kuadratik, 𝟏+𝟐𝝃 (𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 + 𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 𝟐 ) ∓𝟏 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

2. Faktor-faktor Integral dan Turunan: 𝒋𝝎 ∓𝟏 Bentuk integral: 𝐺 𝑠 = 1 𝑠 →𝐺 𝑗𝜔 = 1 𝑗𝜔 =−j 1 𝜔 Tentukan Magnitudo & Sudut Fasa: Magnitudo: 20log 𝐺 𝑗𝜔 =20 log 1 𝑗𝜔 =20 log 1 𝜔 = −20 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛=−20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑘𝑎𝑑𝑒 log 𝜔 Sudut Fasa: ∠𝐺 𝑗𝜔 =−90° (arah sb. Imajiner negatif bidang-𝑠) Bentuk diferensial: 𝐺 𝑠 =s→G j𝜔 =𝑗𝜔 20log 𝐺 𝑗𝜔 =20 log 𝑗𝜔 = 20 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛=20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑘𝑎𝑑𝑒 log 𝜔 Sudut Fasa: ∠𝐺 𝑗𝜔 =90° (arah sb. Imajiner positif bidang-𝑠) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Gambar Bode Diagram: d (𝑑𝐵) 𝜔 𝜙 -90° 90° 180° 0° -180° v 0.1 100 10 1 −40 40 20 −20 Gradien = -20 dB/dekade Gradien = 20 dB/dekade 𝐺 𝑗𝜔 = 1 𝑗𝜔 𝐺 𝑗𝜔 =𝑗𝜔 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Bentuk-bentuk Fungsi Dasar : 𝐺 𝑗𝜔 𝐻(𝑗𝜔) Penguatan Proporsional, 𝑲. Faktor-faktor Integral dan Turunan, 𝒋𝝎 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-1, 𝟏+𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-2/Kuadratik, 𝟏+𝟐𝝃 (𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 + 𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 𝟐 ) ∓𝟏 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

3. Faktor-faktor Orde-1: 1+𝒋𝝎/ 𝜔 𝑐 ∓𝟏 Bentuk: 𝐺 𝑗𝜔 = 1 1+𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 Magnitudo, 20log 𝐺 𝑗𝜔 : 20log 𝐺 𝑗𝜔 =20 log 1 1+𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 =20 log 1 1+ 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 =−20 log 1+ 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 Untuk daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 (asimtot pertama): 20log 𝐺 𝑗𝜔 ≅−20 log 1+0 =0 𝑑𝐵 Untuk daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 (asimtot kedua): 20log 𝐺 𝑗𝜔 ≅−20 log log 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 = −20 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 log 𝜔/ 𝜔 𝑐 Sudut Fasa, ∠𝐺 𝑗𝜔 : Untuk daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 : 𝜙≅0° Untuk daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 : 𝜙≅−90° Untuk daerah 𝜔= 𝜔 𝑐 : 𝜙= −tan −1 𝜔/ 𝜔 𝑐 = −tan −1 1 =−45° NB: 𝝎 𝒄 disebut dengan frekuensi sudut (corner frequency) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Gambar Bode Diagram: 𝐺(𝑗𝜔)= 1 1+𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 Asimtot 1 Asimtot 2 Frekuensi sudut Kurva sebenarnya 𝜔 𝑐 10𝜔 𝑐 2 𝜔 𝑐 20𝜔 𝑐 𝜔 𝑐 2 5𝜔 𝑐 𝜔 𝑐 10 𝜔 𝑐 5 𝜔 𝑐 20 Gradien = 20 dB/dekade Galat Besar galat pd frekuensi sudut, 𝜔= 𝜔 𝑐 =−20 log 1+ 1 2 −0 =−20 log 2 ≈−3𝑑𝐵 Besar galat pd frekuensi 𝜔= 2𝜔 𝑐 =−20 log 1+ 2 2 − −20 log 2 =−20 log 5 +20 log 2 ≈−0.97𝑑𝐵 Besar galat pd frekuensi 𝜔= 0.5𝜔 𝑐 =−20 log 1+ 0.5 2 −0 =−20 log 1.25 ≈−0.97𝑑𝐵 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

3. Faktor-faktor Orde-1: 1+𝒋𝝎/ 𝜔 𝑐 ∓𝟏 Bentuk: 𝐺 𝑗𝜔 =1+𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 Magnitudo, 20log 𝐺 𝑗𝜔 : 20log 𝐺 𝑗𝜔 =20 log 1+𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 =20 log 1+ 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 Untuk daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 (asimtot pertama): 20log 𝐺 𝑗𝜔 ≅20 log 1+0 =0 𝑑𝐵 Untuk daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 (asimtot kedua): 20log 𝐺 𝑗𝜔 ≅20 log log 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 = 20 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 log 𝜔/ 𝜔 𝑐 Sudut Fasa, ∠𝐺 𝑗𝜔 : Untuk daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 : 𝜙≅0° Untuk daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 : 𝜙≅90° Untuk daerah 𝜔= 𝜔 𝑐 : 𝜙= tan −1 𝜔/ 𝜔 𝑐 = tan −1 1 =45° NB: 𝝎 𝒄 disebut dengan frekuensi sudut (corner frequency) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Gambar Bode Diagram: 𝐺(𝑗𝜔)=1+𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 gradien = 20db/dekade Besar galat pd frekuensi sudut, 𝜔= 𝜔 𝑐 =20 log 1+ 1 2 −0 =20 log 2 ≈3 𝑑𝐵 Kurva sebenarnya Asimtot 2 Besar galat pd frekuensi 𝜔= 10𝜔 𝑐 =20 log 1+ 10 2 − 20 log 10 =20 log 101 −20≈0.043 𝑑𝐵 Asimtot 1 0.01 𝜔 𝑐 0.1 𝜔 𝑐 𝜔 𝑐 10 𝜔 𝑐 Besar galat pd frekuensi 𝜔= 0.1𝜔 𝑐 =20 log 1+ 0.1 2 −0 =20 log 1.01 ≈0.043 𝑑𝐵 0.01 𝜔 𝑐 0.1 𝜔 𝑐 𝜔 𝑐 10 𝜔 𝑐 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Bentuk-bentuk Dasar Fungsi: 𝐺 𝑗𝜔 𝐻(𝑗𝜔) Penguatan Proporsional, 𝑲. Faktor-faktor Integral dan Turunan, 𝒋𝝎 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-1, 𝟏+𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 ∓𝟏 Faktor-faktor Orde-2/Kuadratik, 𝟏+𝟐𝝃 (𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 + 𝒋𝝎/ 𝝎 𝒄 𝟐 ) ∓𝟏 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

4. Faktor-faktor Orde-2/Kuadratik 𝐺 𝑗𝜔 = 1 1+(1+2𝜉 (𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 )+ 𝑗𝜔/ 𝜔 𝑐 2 Magnitudo: 20log 𝐺 𝑗𝜔 =20 log 1 1− 𝜔 𝜔 𝑐 2 2 + 2𝜉 𝜔 𝜔 𝑐 2 =−20 log 1− 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 2 + 2𝜉 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 Untuk daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 (asimtot pertama): 20log 𝐺 𝑗𝜔 ≅−20 log 1− 0 2 2 + 0 2 =0 𝑑𝐵 Untuk daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 (asimtot kedua): 20log 𝐺 𝑗𝜔 ≅−20 log log 𝜔/ 𝜔 𝑐 4 = −40 log 𝜔/ 𝜔 𝑐 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛=−40𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑘𝑎𝑑𝑒 Sudut Fasa, ∠𝐺 𝑗𝜔 : Untuk daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 : 𝜙≅0° Untuk daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 : 𝜙≅−180° Untuk daerah 𝜔= 𝜔 𝑐 : 𝜙= −tan −1 2𝜉 𝜔/ 𝜔 𝑐 1− 𝜔/ 𝜔 𝑐 2 ≅− tan −1 2𝜉 0 ≅−90° a). Bentuk: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Frekuensi sudut Gambar Bode Diagram Asimtot Gradien = -40dB/dekade Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 𝜔 𝑐

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Soal Latihan Gambar diagram Bode dari sistem orde-4 dengan umpan balik satuan dan fungsi alih lup terbuka diberikan sbg berikut: 𝐺 𝑠 = 10(𝑠+3) 𝑠(𝑠+2)( 𝑠 2 +𝑠+2) Penyelesaian: 𝐺 𝑗𝜔 = 10(𝑗𝜔+3) 𝑗𝜔(𝑗𝜔+2)( 𝑗𝜔 2 +𝑗𝜔+2) Langkah 1: Normalisasikan dalam bentuk fungsi dasar 𝐺 𝑗𝜔 = 7.5 1+ 𝑗𝜔 3 𝑗𝜔 1+ 𝑗𝜔 2 1+ 𝑗𝜔 2 + 𝑗𝜔 2 2 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Soal Latihan Langkah 2: Pisahkan komponen-komponen fungsi dasar 𝐺 𝑗𝜔 = 7.5 1+ 𝑗𝜔 3 𝑗𝜔 1+ 𝑗𝜔 2 1+ 𝑗𝜔 2 + 𝑗𝜔 2 2 Penguatan proporsional, 𝐾=7.5 Fungsi integral: 𝑗𝜔 −1 Fungsi orde-1: 1+ 𝑗𝜔 3 → 𝜔 𝑐 =3 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Fungsi orde-1: 1+ 𝑗𝜔 2 → 𝜔 𝑐 =2 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Fungsi orde-2: 1+2𝑗 1 2 2 𝜔 2 +𝑗 𝜔 2 2 → 𝜔 𝑐 = 2 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ,dan 𝜉= 1 2 2 c a e b d Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Soal Latihan Langkah 3: Tentukan magnitudo dan sudut fasa tiap komponen Penguatan proporsional, 𝐾=7.5 Magnitudo: 20 log 7.5 =17.5 𝑑𝐵 Sudut fasa: 0° Fungsi orde-1: 1+ 𝑗𝜔 3 → 𝜔 𝑐 =3 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Daerah 𝜔≪ 𝜔 𝑐 Magnitudo: 0 𝑑𝐵 Fungsi orde-1: 1+ 𝑗𝜔 2 −1 → 𝜔 𝑐 =2 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Fungsi orde-2: 1+2𝑗 1 2 2 𝜔 2 +𝑗 𝜔 2 2 −1 → 𝜔 𝑐 = 2 =1.41 𝑟𝑎𝑑 𝑠 & 𝜉= 1 2 2 =0.354 Fungsi integral: 𝑗𝜔 −1 Magnitudo: −20 log 𝜔 𝑑𝐵 Sudut fasa: −90° Daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 Magnitudo: 20log(𝜔) 𝑑𝐵 Sudut fasa: 90° Daerah 𝜔= 𝜔 𝑐 Sudut fasa: 45° Daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 Magnitudo: −20log(𝜔) 𝑑𝐵 Sudut fasa: −90° Daerah 𝜔= 𝜔 𝑐 Sudut fasa: −45° Daerah 𝜔≫ 𝜔 𝑐 Magnitudo: −40log(𝜔) 𝑑𝐵 Sudut fasa: −180° Daerah 𝜔= 𝜔 𝑐 Sudut fasa: −90° Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Soal Latihan Langkah 4: Gambar diagram bode dari masing-masing komponen lalu jumlahkan nilai semua komponen. Magnitudo Sudut Fasa a b c d e Kurva sebenarnya 20 log 𝐺(𝑗𝜔) ∠𝐺(𝑗𝜔) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Terima Kasih  Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3