Aljabar Boolean Bahan Kuliah IF2151 Matematika Diskrit Penambahan Materi oleh : Imam Suharjo Revisi 2015.1 Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Definisi Aljabar Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington. Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Aljabar Boolean Dua-Nilai Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Ekspresi Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Mengevaluasi Ekspresi Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Prinsip Dualitas Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Hukum-hukum Aljabar Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Fungsi Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Komplemen Fungsi Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Latihan Tentukan Komplemen fungsi dengan 2 cara untuk : f(x, y, z) = xy’(yz’ + y) Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Bentuk Kanonik Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. x = x (y + y’) = xy + xy’ masih kurang z = xy (z+z’) + xy’ (z+z’) x = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ y’z = y’z ( x+ x’) = xy’z + x’y’z f(x, y, z) = x + y’z =xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z =xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z =m7 + m6 + m5 + m4 + m1 Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. f(x, y, z) = x + y’z x yz x = x . (y + y’) = x y + x y’ = xy(z+z’) + xy’(z+z’) = xyz + xyz’ + xy’z + zy’z’ y’z = y’z (x+x’) = xy’z + x’y’z f(xyz) = xyz + xyz’ + xy’z + zy’z’ + xy’z + x’y’z = xyz + xyz’ + xy’z + zy’z’ + x’y’z = m7 + m6 + m5 + m4 + m1 Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. x = x (y+y’) = xy + xy’ = xy(z+z’) + xy’(z+z’) = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ y’z = y’z (x+ x’) = xy’z + x’y’z f(x, y, z) = x + y’z = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z =xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Latihan di kelas Nyatakan fungsi boolean berikut dalam bentuk Kanonik SOP dan POS : f(x,y,z) = y + x y Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit f(x,y,z) = y + x y Y = y (x+x’) = xy +x’y = xy (z+z’) + x’y(z+z’) = xyz +xyz’ + x’yz + x’yz’ Xy = xy(z+z’) = xyz + xyz’ = xyz +xyz’ + x’yz + x’yz’ + xyz + xyz’ = m7 + m6 + m3 + m2 Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Contoh POS dahulu Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Konversi Antar Bentuk Kanonik Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Bentuk Baku Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya, f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS) Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Aplikasi Aljabar Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Latihan Buatlah Gerbang Logika dari fungsi : f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’ Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Contoh Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Penyederhanaan Fungsi Boolean Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
1. Penyederhanaan Secara Aljabar Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2. Peta Karnaugh Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit x’yz’ + xyz x’yz’ + (xyz + xyz’) x’yz’ + xy Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Latihan di rumah 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z wxy’ + wx’y’ wy’ Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy’ Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Kondisi Don’t care Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Metode Quine-McCluskey Metode Peat Karnaugh tidak mangkus untuk jumlah peubah > 6 (ukuran peta semakin besar). Metode peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan dikelompokkan. Metode alternatif adalah metode Quine-McCluskey . Metode ini mudah diprogram. Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Latihan soal Implementasikan fungsi f(x, y, z) = (0, 6) dan hanya dengan gerbang NAND saja. Gunakan Peta Karnaugh untuk merancang rangkaian logika yang dapat menentukan apakah sebuah angka desimal yang direpresentasikan dalam bit biner merupakan bilangan genap atau bukan (yaitu, memberikan nilai 1 jika genap dan 0 jika tidak). Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3. Sebuah instruksi dalam sebuah program adalah if A > B then writeln(A) else writeln(B); Nilai A dan B yang dibandingkan masing-masing panjangnya dua bit (misalkan a1a2 dan b1b2). (a) Buatlah rangkaian logika (yang sudah disederhanakan tentunya) yang menghasilkan keluaran 1 jika A > B atau 0 jika tidak. (b) Gambarkan kembali rangkaian logikanya jika hanya menggunakan gerbang NAND saja (petunjuk: gunakan hukum de Morgan) Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit Buatlah rangkaian logika yang menerima masukan dua-bit dan menghasilkan keluaran berupa kudrat dari masukan. Sebagai contoh, jika masukannya 11 (3 dalam sistem desimal), maka keluarannya adalah 1001 (9 dalam sistem desimal). Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit