Portofolio Mean Varian Satu Konstrain

Dalam pembentukan portofolio efisien, asumsi investor yang wajar cenderung menghindari risiko (risk averse). Investor yang risk averse adalah investor yang jika dihadapkan pada dua investasi dengan expected return yang sama, maka ia akan memilih investasi dengan tingkat risiko yang lebih rendah. Jika seorang investor memiliki beberapa pilihan portofolio yang efisien, maka portofolio yang paling optimal-lah yang akan dipilihnya.

Pengertian portofolio optimal adalah portofolio yang dipilih seorang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio yang efisien. Tentunya portofolio yang dipilih investor adalah portofolio yang sesuai dengan preferensi investor bersangkutan terhadap return maupun terhadap risiko yang bersedia ditanggungnya.

portofolio optimal dengan kriteria mean-variance efficient portfolio, investor hanya berinvestasi pada aset-aset berisiko saja. Investor tidak memasukkan aset bebas risiko (risk free asset) dalam portofolionya. Mean-variance efficient portfolio didefinisikan sebagai portofolio yang memiliki variansi yang minimum di antara keseluruhan kemungkinan portofolio yang dapat dibentuk, pada tingkat mean expected return yang sama.

Secara matematika hal tersebut sama dengan mengoptimalisasi bobot w=(w1,…,wp)T dengan meminimalkan variansi (resiko) ½ wTΣw Pengambilan setengah dari kuantitas di atas hanyalah alasan teknis untuk memecahkan masalah optimisasi.

Pembentukan Portofolio Rumus pembobotan portofolio optimal dapat diselesaikan dengan mendefinisikan variance efficient portfolio yakni portofolio yang membuat risiko menjadi minimal dengan batasan jumlah dari bobot (weight) portofolio tersebut wT1p = 1. Selanjutnya dapat dibentuk fungsi Lagrange L, dan akan dicari w yang meminimalkan Fungsi Lagrange tersebut L = 1/2 wT Σ w - λ (wT1p - 1)

Fungsi Lagrange L diturunkan secara parsial terhadap w dan disama dengankan nol sebagai berikut Turunan parsial L terhadap vector w=(w1,…,wp) di atas, artinya adalah turunan parsial L terhadap masing-masing wi, i=1,…,p. Menghasilkan vector kolom berukuran p. Dengan menyamadengankan nol : Σ w = λ 1p Sehingga diperoleh w = λ Σ-1 1p

Selanjutnya w kita substitusikan L Kuantitas tersebut merupakan fungsi dari λ. Jika L diturunkan terhadap λ dan disama dengankan nol, maka diperoleh

Turunan kedua dari L terhadap w Hal ini menunjukkan bahwa w yang diperoleh benar-benar akan meminimalkan nilai L di atas, dan w yang diperoleh akan memberikan risiko yang minimal dibandingkan dengan w yang lain. Dengan mensubstitusikan λ ke w untuk mendapatkan nilai w yaitu

Diambil empat data saham mingguan (BBCA,TLKM,PGAS,EXCL) dari Yahoo finance pada periode 2 Maret 20xx - 01 Maret 20xy (1 tahun), dan selanjutnya ingin dibentuk portofolionya. Berikut diberikan mean dan variansi return masing-masing saham sebagai berikut   BBCA TLKM PGAS EXCEL Mean 0,013976 0,008015 0,015390 0,022304 Variansi 0,002513 0,001998 0,002853 0,004190

Matrik Varians Covarians Sedangkan matriks kovariansi return keempat saham di atas dapat diberikan sebagai berikut Matrik Varians Covarians   1 2 3 4 0,0025128 0,0000486 0,0010962 0,0016003 0,0019981 0,0005475 -0,0001244 0,0028528 0,0019147 0,0041897

Metode Trial and Error Selanjutnya diberikan beberapa simulasi komputasi perhitungan portofolio untuk bobot yang berbeda, Bobot BBCA TLKM PGAS EXCL VAR return 1 0,25 0,001357 0,014921 2 0,15 0,45 0,001827 0,017042 3 0,35 0,001677 0,016350 4 0,2 0,1 0,001705 0,016673 5 0,3 0,001481 0,015565 6 0,001477 0,015494 7 0,001383 0,015126 8 0,001255 0,014411 9 0,001299 0,014828

Metode Mean-Variance Dengan menggunakan metode mean variansi, diperoleh bobot portofolio yang memenuhi kriteria meminimalkan resiko return portofolio adalah sebagai berikut >> w=inv(Σ)*[1 1 1 1]'/([1 1 1 1]*inv(Σ )*[1 1 1 1]') w = [0.3013; 0.5047; 0.0791; 0.1149] Dengan resiko return portofolionya >> w'* Σ *w =0.0011

Bagaimana jika terdapat dua konstrain ? Konstrain untuk bobot dan Konstrain untuk expected return