ALJABAR LINEAR Tentang Determinan dan matriks invertible Kelompok 6 Dosen pengampu : Novi Elfira S.Pd Kelompok 6 - Efriza meliati - Claudia nova - Ganda satria - Tomi Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) YPM Bangko 2014

Determinan Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn = n! Contoh: untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P3 = 3! = 321 = 6; yaitu: (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului yang lebih kecil. 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2. 6 5 4 3 2 1 inversinya 15

Permutasi genap  permutasi yang banyak inversinya genap. Permutasi ganjil  permutasi yang banyak inversinya ganjil.

Perkalian elementer dari Ann ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak sebaris dan tidak sekolom. Contoh: Yaitu: Perkalian elementer bertanda dari Ann adalah perkalian elementer dari A dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya. Contoh: di atas

Determinan matriks Ann ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A. contoh

Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: + − + − − +

MATRIKS INVERTIBLE Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku     maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis   . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini. Jika     dengan   maka invers dari matriks A (ditulis   ) adalah sebagai berikut:

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers: - (A.B)-1 = B-1.A-1 Jika ad – bc = 0 maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular. Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers: - (A.B)-1 = B-1.A-1 - (B.A)-1 = A-1.B-1 - (A-1 )t = (A-t)-1

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2 Misalkan diketahui matriks A =    , dengan ad – bc ≠ 0. Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A–1 . Dengan demikian, berlaku : AA–1 = A–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A =    dan matriks B =    sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s. Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

Jadi, diperoleh sistem persamaan : ap + br = 1 dan aq + bs = 0 cp + dr = 0 cq + ds = 1 Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

Dengan demikian, Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = = I Karena A × B = B × A = I maka B = A–1.

Jadi, jika A = maka inversnya adalah : untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Tentukan invers matriks-matriks berikut.

Jawaban :

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan) Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer. a. Dengan Adjoin Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu : adj(A) = (kof(A))T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut. Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi. Contoh Diketahui matriks A = . Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban : Terlebih dahulu kita hitung determinan A. det A = 1.3.3 + 2.4.1 + 1.2.2 - 1.3.1 - 2.4.1 – 3.2.2 = 9 + 8 + 4 – 3 – 8 – 12 = - 2 Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh : adj(A) =

Jadi, A–1 dapat dihitung sebagai berikut.

Dengan Transformasi Baris Elementer Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut. 1) Bentuklah matriks (An | In), dengan In adalah matriks identitas ordo n. 2) Transformasikan matriks (An | In) ke bentuk (In | Bn), dengan transformasi elemen baris. 3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn. Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah : a) Bi ↔ Bj : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j; b) k.Bi : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k; c) Bi + kBj : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Tentukan invers matriks A =     dengan transformasi baris elementer. Penyelesaian :

Jadi, diperoleh A–1 = Keterangan :   1/2 B1 : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2. B2 – 5B1 : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1. B1 – B2 : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2. 2B2 : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Tentukan invers matriks A =     dengan transformasi baris elementer. Jawaban :