Pertemuan 19 LIMIT FUNGSI

Agar mahasiswa dapat menunjukkan konsep limit dan penghitungannya Tujuan Agar mahasiswa dapat menunjukkan konsep limit dan penghitungannya

DEFINISI LIMIT Dalam kalkulus sering menjadi perhatian nilai “batas” (limiting value) suatu fungsi bila variabel bebasnya mendekati suatu bilangan nyata tertentu Nilai “batas’ tsb (bila ada) disebut limit, dg notasi: lim f(x) = L x a baca: limit f(x) bila x mendekati a adalah L. Dlm menyelidiki keberadan limit, perlu ditanya: Apa f(x) makin mendekati L bila x makin mendekati a ?

PENGHITUNGAN LIMIT Ada berbagai prosedur penentuan limit fungsi Ingat: umumnya bukan dg memasukkan nilai x=a ke dalam f dan mencari f(a) Satu cara dg memasukkan nilai var. x ke fungsi, sambil melihat gerakan nilai f(x) bila nilai x makin dekat ke a, baik dari kiri/kanan: dari kiri (kecil => besar), dari kanan (besar => kecil). Bila lim f(x) = L , limit kiri & lim f(x) = L , limit kanan x a _ x a+ maka lim f(x) = L x a

ILUSTRASI LIMIT Ternyata bila nilai x makin mendekati 2, nilai f(x) makin dekat ke 8

SIFAT-SIFAT LIMIT (1) x ->a Contoh: lim 30 = 30 x->9 Proses penentuan limit tidak perlu selalu dg mengevaluasi f(x) pd suatu seri titik di dua sisi (kiri/kanan) dari x = a Sifat2 limit, berguna utk menentukan nilai limit suatu fungsi. Jika f(x) = c, c = bil.ril, maka lim (c) = c x ->a Contoh: lim 30 = 30 x->9 Jika f(x) = xn, n = bil. bulat positif, maka lim xn = an, Contoh: lim x3 = (-2)3= -8 x-> -2

maka lim c.f(x) = c.lim f(x) SIFAT-SIFAT LIMIT (2) Jika f(x) mempunyai limit utk x ->a, dan c = bil. ril, maka lim c.f(x) = c.lim f(x) x ->a x ->a Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka x ->a x ->a lim [f(x)  g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x ->a x ->a x ->a Contoh: lim (x5-10) = lim (x5) - lim10 x-> -1 x -> -1 x -> -1 =( -1)5 – 10 = -11

lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x) SIFAT-SIFAT LIMIT (3) Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka x ->a x ->a lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x) x ->a x ->a x ->a Contoh lim[(x2-5)(x + 1)] = lim(x2-5).lim(x + 1) =(42-5)(4+1)=55 x->4 x->4 x->4 Jika lim f(x) & lim g(x) ada, maka lim f(x) f(x) x ->a lim ---- = -------- dg syarat lim g(x) ≠ 0 x ->a g(x) lim g(x) x->a

LIMIT FUNGSI TERTENTU Sifat2 limit tsb., memudahkan proses penentuan limit utk kelompok fungsi tertentu, yaitu polinomial. Limit fungsi tsb. diperoleh dg substitusi, yaitu: lim f(x) = f(a) x a Contoh: lim (3x2 -4x + 10) = f(-2) = 3(-2)2 -4(-2) +10 = 30 x -> -2 x2 - 9 (x + 3)( x – 3) l i m -------- = l I m ------------------ = l i m (x+3) = 6 x->3 x - 3 x ->3 (x – 3) x -> 3 Walau fungsi ini tidak terdefinisi utk x = 3, nilai f(x) mendekati 6 bila x mendekati 3. Ini juga contoh fungsi yg dapat disederhanakan dg faktorisasi.