HIMPUNAN Definisi Himpunan Relasi dan Operasi Antar Himpunan DOSEN: Roy Sari Milda Siregar, ST, M.Kom

DEFINISI HIMPUNAN Himpunan dapat dikatakan sebagai sekumpulan benda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Penulisan suatu himpunan  :  a. menyatakan anggota himpunan dengan kata- kata Contoh : A = {bilangan prima kurang dari 11} b. menyatakan angota himpunan dengan notasi pembentuk himpunan  Contoh : C = { x | -5 ≤  x < 10 , x Î B } c. menyatakan anggota himpunan dengan cara mendaftar Contoh :  A = {4, 6, 8, 10, 12}

2. Himpunan kosong  himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Simbol himpunan kosong adalah { } atau Æ  3. Himpunan semesta Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat s emua objek yang dibicarakan. Simbol dari himpunan  semesta adalah S.  Contoh : A = {1, 2} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} C = {2, 4, 6, 8, 10, ...} Himpunan semesta yang dapat memuat ketiga himpunan di atas adalah himpunan bilangan cacah.  jadi himpunan semestanya adalah  S = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

4. Himpunan bagian  A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A Ì B Contoh:    S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }    A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi  B  Ì  A Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C Ë  A

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian : Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A  adalah  sebanyak 2n(A)

Contoh :  Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut : 1.A = { a, b, c }2.B = { 1, 2, 3, 4, 5 }3.C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }          Jawab : 1.n(A) = 3  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8 2.n(B) = 5  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 3.n(C) = 7  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 

5. Irisan dua himpunan Irisan himpunan A dan B ditulis A  ∩  B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }.  Tentukan P   ∩  Q Jawab :P    ∩    Q  = { d, e }

6. Gabungan dua himpunan Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B ada lah himpunan semua objek yangmenjadi ang gota himpunan A atau menjadi anggota himp unan BContoh:Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∪ QJawab : P ∪ Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

7. Himpunan lepas Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan s aling lepas jika kedua himpunan itu tidakme mpunyai satupun anggota yang sama  Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan Gadalah du a himpunan yang saling lepas, jadi  L // G

8. Himpunan tidak saling lepas Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan t idak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama    Contoh : P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P ⊄ Q

CONTOH SOAL contoh soal :  Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 oranggemar menari dan 10 orang gemar kedu anya. a.Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?  b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? 

Jawab: n(S) = 32  a. yang gemar melukis saja = 21 - 10 = 11 orang b. yang gemar menari saja = 16 - 10 = 6 orang  c. yang tidak gemar keduanya = 32 - (11 + 10 + 6 ) = 5 orang

DIAGRAM VENN Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 1834–1923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana dan noktah- noktah untuk menyatakan anggotanya.

CONTOH Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9}; P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan Q = {5, 6, 7} Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinotasikan dengan S berada di pojok kiri.

Perhatikan himpunan P dan Q Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggota persekutuan antara P dan Q, maka PΛQ = { }. Jadi, dapat dikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini, kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah. Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva P, sedangkan anggota- anggota himpunan Q diletakkan pada kurva Q. Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q. Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di bawah ini.

DIAGRAM VENN Langkah-langkah menggambar diagram venn 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan  2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama  3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah- tengah  4.Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi   anggota bersama tadi  5.Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama- nama himpunan   6.Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam  lingkaran sesuai dengan daftaranggota himpunan itu 7.Buatlah segiempat yang memuat lingkaran- lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunansemes tanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh Soal Tentang Diagram Venn Diketahui S = {1, 2, 3, Contoh Soal Tentang Diagram Venn  Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan), A = {1, 2, 3, 4, 5}, dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambarlah dalam diagram Venn ketiga himpunan tersebut. Penyelesaian: Diketahui: S = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10} Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa AΛB = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling berpotongan. (Mengapa?) Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan). Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut.

SELESAI