MATRIKS DEFINISI MATRIKS : Matriks adalah sekumpulan bilangan riil atau bilangan kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array) persegi panjang UKURAN MATRIKS : Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n atau matriks berorde mxn

Matriks dinyatakan dalam bentuk : banyaknya baris dan banyaknya kolom Contoh Matriks orde m x n :

Ciri-ciri matriks : Matriks dituliskan dalam huruf kapital Bold Matriks ditandai dengan simbol ( “ [aij]”) Notasi 2 indeks suatu elemen matriks am x n merupakan elemen matriks yang terletak pada baris ke - m dan kolom ke - n Elemen Matriks dituliskan dalam numerik yang menyatakan suatu koefisien untuk matriks baris dan matriks kolom dinyatakan dengan huruf kecil tebal

Jenis-jenis Matriks Matriks baris : Suatu matriks yang terdiri dari satu baris. Matriks kolom : Suatu matriks yang terdiri dari satu kolom Matriks berelemen tunggal : Sebuah bilangan dapat di pandang sebagai matriks berukuran 1 x 1, yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris dan 1 kolom saja.

Jenis – Jenis Matriks : Matriks bujur sangkar : matriks yang berorde m x m Matriks Persegi panjang : matriks yang berorde m x n Matriks diagonal : matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya. Matriks segitiga atas / segitiga bawah : matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal (segitiga atas) atau dibawah diagonal (segitiga bawah) sama dengan nol

Jenis – Jenis Matriks : Matriks bujur sangkar : matriks yang berorde m x m Matriks Persegi panjang : matriks yang berorde m x n Matriks diagonal : matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya. Matriks segitiga atas / segitiga bawah : matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal (segitiga atas) atau dibawah diagonal (segitiga bawah) sama dengan nol

e. Matriks Satuan / Identitas : matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1 f. Matriks nol : matriks yang semua elemennya sama dengan nol.

Kesamaan Matriks Menurut definisi dua buah matriks dikatakan sama jika semua elemen yang bersesuaian letaknya “sama” Karena itu kedua matriks tersebut harus berorde “sama” a = w b = x c = y d = z

Penjumlahan & Pengurangan Matriks : Agar dua matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan maka, orde kedua matriks haruslah sama. Selanjutnya jumlah dan selisihnya diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen - elemen yang bersesuaian.

OPERASI ALJABAR PADA MATRIKS Hukum Komutatif Penjumlahan A + B = B + A Hukum Asosiatif Penjumlahan A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

Perkalian Matriks : Perkalian dengan skalar : Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan pada masing - masing elemennya. Perkalian dua buah matriks : Dua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap yang lain apabila; banyaknya kolom dalam matriks yg pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks kedua

 ( B + C ) =  B +  C (  +  ) C =  C +  C (   ) C =  (  C ) =  (  C )  ( B C ) = (  B ) C = B (  C ) Keterangan :  dan  adalah bilangan skalar

Hukum Asosiatif Perkalian A ( B C ) = ( A B ) C Hukum Distributif A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA

Perkalian matriks (3x2) dengan matriks(2x4) menghasilkan matriks berorde (3 x 4). Secara umum, perkalian matriks (l x m) dengan matriks (mxn) akan menghasilkan matriks berode (l x n) Suatu matriks hanya dapat dikuadratkan jika matriks tersebut merupakan matriks bujur sangkar.

dan B adalah matriks ( n x m ) , Jika A adalah matriks (m x n), dan B adalah matriks ( n x m ) , maka perkalian A.B dan B.A keduanya mungkin dilakukan, bila m = n. Perkalian matriks A.B  B.A . Perkalian matriks tidak komutatif.

Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear; Hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah kombinasi linear dari matriks-matriks kolom dari A dengan koefisien - koefisien yang berasal dari matriks x. Matriks Terpartisi; Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks - matriks yang lebih kecil dengan menyelipkan garis horizontal dan vertikal di antara baris dan kolom yang ditentukan.

TRANSPOSE MATRIKS Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan. Maksudnya : Baris pertama menjadi kolom pertama, Baris kedua menjadi kolom kedua, Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dst.

Aturan-aturan Aljabar untuk Transpose : ( AT )T = A ( A )T =  AT , dengan  adalah skalar ( A + B )T = AT + BT ( AB ) T = BT AT (AT)-1 =(A-1)T

INVERS MATRIKS Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi AB = BA = I , disebut sebagai invers dari A. Matriks A yang mempunyai invers disebut sebagai matriks taksingular atau invertible, sedangkan yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Contoh : Adalah invers dari Matriks B merupakan invers dari matriks A sebab berlaku AB = I Adalah invers dari

Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah A-1 Jika A dan B dua matriks tak singular, maka : (i). AB tak singular (ii).AB = BA

Jika : dan ad – bc  0 , maka

Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 pada sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan yaitu X= A-1B Contoh : Selesaikan sistem persamaan linier berikut x1 + 2x2 + 3x3 =5 2x1 + 5x2 + 3x3 =3 x1 + 8x3 =17

Carilah invers dari 1. 2.

Adalah bukan invers dari Karena BA ≠ I Jika A dan B adalah matriks - matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama (n x n), maka : (AB)-1 = B-1. A-1

Matriks Elementer & metode mencari A-1 Definisi : Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan n x n yakni In x n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal. Jika A taksingular; det(A) ≠ 0 berarti A dapat dibalik Jika A.x = b memiliki satu pemecahan maka A harus taksingular Jika A.x = 0, maka hanya akan mempunyai pemecahan trivial

Jika A taksingular maka A ekivalen baris dengan I, terdapat matriks - matriks elementer E1,E2,…,Ek sehingga: EkEk-1…E1A = I  EkEk-1…E1I = A-1 Dengan demikian dapat dicari A-1 yaitu (A | I ) akan menjadi (I | A-1) Jika E adalah matriks elementer yang berasal dari matriks satuan I m x m yang telah dikenakan suatu bentuk OBE; dan A adalah matriks m x n, maka EA adalah matriks yang terjadi apabila OBE di atas dikenakan pada A

Setiap matriks elementer merupakan matriks tak singular. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer

BAB 2 EKUIVALENSI

TRANSFORMASI ELEMENTER DEFINISI : OPERASI YANG DIKERJAKAN PADA MATRIKS MENURUT SALAH SATU CARA BERIKUT : Menukar letak baris/kolom ke i dengan baris/kolom ke j Mengalikan setiap elemen baris/kolom ke I dengan suatu bilangan k tidak sama dengan 0 Menambah setiap elemen baris/ kolom ke I dengan k kali elemen baris/ kolom ke j ( k bilanagan sembarang)

3 OPERASI TADI APABILA DIKERJAKAN PADA BARIS SAJA MAKA DINAMAKAN OPREASI BARIS ELEMENTER (OBE) DAN JIKA DIKERJAKAN PADA KOLOM SAJA DINAMAKAN OPERASI KOLOM ELEMENTER (OKE)