ANALISA NUMERIK 1. Pengantar Analisa Numerik TAMTOYO, M.T 1. Pengantar Analisa Numerik 2. Akar-akar Persamaan Non Linier 3. Sistem Persamaan Aljabar Linier 4. Interpolasi 5. Regresi (Curve Fiting) 6. Defferensial 7. Integral 8. Persamaan Deferensial Biasa Reff: Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ”Numerical Methods for Engineers”, McGraw Hill,

PENGANTAR Kerap kali banyak permasalahan engineering tidak dapat diselesaikan secara analitis/matematis. Contoh : Menghitung integral Mencari akar-akar persamaan Non-Linier. Menentukan persamaan polinomial yang paling mewakili dari sejumlah data yang besar (masalah Estimasi). dll

Mengitung integral

Mencari akar persamaan

Masalah estimasi Fungsi estimasi

Metode Numerik Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat deselesaikan dengan operasi aritmatika sederhana. Analisa Numerik Analisa terhadap beberapa metode numerik yang digunakan dalam menyelesaikan masalah sehingga diperoleh metode yang lebih baik. Solusi Analitik Vs. Solusi Numerik Penyelesaian masalah secara analitik memberikan hasil eksak/pasti. Penyelesaian masalah secara numerik memberikan hasil pendekatan. Seringkali permasalahan tidak bisa diselesaikan secara analitis, sehingga diperlukan metoda lain yaitu metode Numerik.

Contoh-1 : Seorang penerjun dengan massa 68.100gr meloncat dari sebuah pesawat terbang. Hitung kecepatanya setelah 2, 4, 6, 8, 10 detik kemudian, jika diketahui koefisien gesekan udara 12.500 gr/det dan percepatan grafitasi adalah 980 cm/det2.. Model Matematika Hukum Newton: Gerak Penerjun Bebas : FU FD

Solusi Analitik Solusi Numerik t v(t)-Analitik V(t)-Numerik 0,0 2 0,0 2 1.640,5 1.960,0 4 2.776,9 3.200,5 6 3.564,2 3.985,6 8 4.109,5 4.482,5 10 4.487,3 4.796,9 ∞ 5.339,0

Perbandingan Perhitungan secara Analitik dengan Metode Numerik Seberapa besar peredaan/kesalahan dapat ditolerir..?

Aproksimasi & Kesalahan (Galat) Angka Signifikan Banyaknya digit tertentu yang dapat dipakai dengan meyakinkan. 0,00001845 0,0001845 0,001845 mempunyai 4 angka signifikan 4,53 x 104 mempunyai 3 angka signifikan 4,530 x 104 mempunyai 4 angka signifikan 4,5300 x 104 mempunyai 5 angka signifikan Definisi Kesalahan Kesalahan numerik timbul dari penggunaan aproksimasi untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang eksak/pasti. Harga Sebenarnya = Aproksimasi + Kesalahan Kesalahan (Et) : Et = Harga Sebenarnya - Aproksimasi Kesalahan Relatif Persen Sebenarnya (et) et = (Kesalahan / Harga Sebenarnya ) * 100 %

“Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku” Contoh-2 : Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cm Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm Jika nilai sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, Hitung Kesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran diatas. Kesalahan: Jembatan : Et = 10.000 – 9.999= 1 cm Paku : Et = 10 – 9 = 1 cm Kesalahan relatif: Jembatan : et = 1/10.000 * 100%= 0,01% Paku : et = 1/10 * 100% = 10% Kesimpulan : “Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku”

es = (0,5 * 102-n) % Kesalahan Relatif Persen Aproksimasi (ea) ea = (Kesalahan Aproksimasi / Aproksimasi ) * 100 % = (Aproksimasi sekarang - Aproksimasi sebelumnya) / Aproksimasi sekarang * 100 % Pada proses iterasi, iterasi dihentikan jika telah memenuhi kondisi |ea| < es Dimana es = tingkat kesalahan yang masih dapat diterima Hubungan es dengan angka signifikan es = (0,5 * 102-n) %

Contoh : (Taksiran Kesalahan Metode Iterasi): Dalam matematika fungsi-fungsi dapat dinyatakan dalam deret tak hingga. Jadi, jika lebih banyak suku ditambahkan kedalam deret maka aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik. Misal ingin menaksir nilai ex, dengan x=0,5 mengunakan pendekatan deret, menggunakan 3 angka signifikan (e0,5 = 1.648721271) Taksiran ke-1 Taksiran ke-2

Kecepatan (Angka signifikan) Kesalahan Pembulatan (round-off error) Kesalahan yang terjadi karena komputer hanya dapat menyatakan besaran-besaran dalam sejumlah digit terbatas. Kesalahan Pemotongan (truncation error) Kesalahan yang terjadi dari kenyataan bahwa metode numerik memberlakukan suatu aproksimasi untuk menyatakan pengoperation dan besaran-besaran matematika yang pasti. Contoh : (Pengaruh Kesalahan Pembulatan pada Kasus Penerjun): waktu Kecepatan (Angka signifikan) 3 4 5 6 0,0 2 1.960 1.960,0 1.960,00 3.200 3.200,4 3.200,46 3.980 3.985 3.985,5 3.985,54 8 4.470 4.482 4.482,3 4.482,41 10 4.480 4.796 4.796,8 4.796,88 12 4.980 4.995 4.995,8 4.995,91

Deret Taylor Deret taylor menjadi konsep dasar dalam pengembangan metode numerik. Beberapa metode aproksimasi merupakan pemenggalan dari deret ini. Deret Taylor merupakan model aproksimasiterhadap suatu fungsi f(x). Deret Taylor menyediakan sarana untuk memprediksi nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunanya pada titik lain. Theorema Taylor : Jika f(x) mempunyai n+1 turunan kontinyu pada interval [a,b], untuk n ≥ 0 dan x, x0  [a,b], maka : dimana : , untuk  antara x0 dan x

Contoh : (Pendekatan Deret Tailor dari suatu Polinomial): Tentukan deret tailor orde ke 0 s/d 4 fungsi berikut f(x) = -0,1x4 - 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2 pada x=0, untuk memprediksi nilai fungsi pada x=1 ( f(x=1) = ? ) Contoh : Diketahui f(x) = ln(x), Tentukan fungsi aproksimasi linier p1(x) dan kuadratik p2(x) pada x0=1. Gunakan p1(x) dan p2(x) untuk menghitung ln(1.5) = ?

Deferensial Numerik Turunan suatu fungsi secara numerik diaproksimasi dengan menggunakan deret Taylor. Ada 3 aproksimasi yang bisa digunakan: 1. Aproksimasi Beda Terbagi Hingga Maju Pertama (Orde O(h)) 2. Aproksimasi Beda Terbagi Hingga Mundur Pertama (Orde O(h)) 3. Aproksimasi Beda Terbagi Hingga Terpusat Pertama (Orde O(h2))

Contoh-1: Taksirlah turunan pertama fungsi f(x) dibawah ini dengan aproksimasi beda maju, mundur dan aproksimasi beda terpusat. f(x) = -0,1x4 + 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2 Pada x=0.5, dengan ukuran langkah h=0.5 Hitung juga untuk h=0.25 Contoh-2: Jarak suatu perjalanan dari kota A ke kota B dinyatakan oleh fungsi D(t) terhadap t, yang dinyatakan dalam tabel dibawah. Tentukan kecepatan pada t=10, yaitu V(10) turunan numerik Aproksimasi beda terbagi pusat orde (h2). Jika jarak dinyatakan dengan persamaan D(t) = -70 + 7t + 70 e(-t/10) Tentukan kecepatan pada t=10, yaitu V(10) c. Bandingkan jawab a dan b t 8 9 10 11 12 D(t) 17.453 21.460 25.752 30.301 35.084