Sistem Persamaan Aljabar Linear

Materi Pelajaran sebelumnya: - menentukan harga x yang memenuhi persamaan tunggal f(x)=0 Yang akan kita pelajari: - menentukan harga x1, x2, x3,….,xn yang secara simultan memenuhi sekumpulan persamaan: f1(x1,x2,x3,….xn)=0 f2(x1,x2,x3,…,xn)=0

Persamaan Aljabar Linear Bentuk umum persamaan aljabar linear: a1x1 + a2x2 + … + anxn = c dimana : a: koefisien konstanta c: konstanta n: jumlah persamaan Untuk persamaan linear dengan n <=3, penyelesaiannya dapat dengan: - metode grafik - aturan Cramer - metode eliminasi

Metode Grafik

Metode Grafik Sistem kondisi timpang (ill-conditioned) Tidak ada solusi Solusi tidak terhingga Titik yang berpotongan sukar dideteksi (solusi sukar ditentukan)

Sistem Kondisi Timpang Sistem berkondisi baik: sistem dimana sejumlah kecil dalam satu atau lebih koefisien akan menghasilkan perubahan kecil yang serupa pada solusi Sistem berkondisi timpang: sistem dimana perubahan kecil dalam koefisien menghasilkan perubahan besar dalam solusi.

Determinan dan Aturan Cramer [A] : koefisien matriks D : Determinan dari matriks A

Menghitung Determinan

Eliminasi Gauss Pecahkan Ax = b Terdiri dari langkah: Eliminasi ke depan Substitusi ke belakang mengurangi pers. Ax = b menjadi sebuah sistem triangular atas Tx = b’ Substitusi ke belakang kemudian dapat memecahkan Tx = b’ untuk x Eliminasi Ke depan Substitusi Ke belakang

Gaussian Elimination Eliminasi ke depan x1 - x2 + x3 = 6 -(3/1) -(3/7) -(2/1) x1 - x2 + x3 = 6 0 7x2 - x3 = -9 0 0 -(4/7)x3=-(8/7) Pecahkan menggunakan substitusi ke belakang menghasilkan: x3 = 2 x2=-1 x1 =3 Matriks diubah menjadi matriks triangular atas

Substitusi ke belakang Contoh : 1x0 +1x1 –1x2 +4x3 = 8 – 2x1 –3x2 +1x3 = 5 2x2 – 3x3 = 2x3 = 4 x3 = 2

Substitusi ke belakang 1x0 +1x1 –1x2 = – 2x1 –3x2 = 3 2x2 = 6 x2 = 3

Substitusi ke belakang 1x0 +1x1 = 3 – 2x1 = 12 x1 = –6

Substitusi ke belakang 1x0 = 9 x0 = 9

Jebakan Pada Metode Eliminasi 1. Pembagian oleh nol Contoh: 2x2 + 3x3 = 8 0 2 3 4x1 + 6x2 + 7x3 = -3 A = 4 6 7 2x1 + x2 + 6x3 = 5 2 1 6 Penyelesaian menggunakan pivoting (pemutaran). Pivot parsial : menentukan koefisien terbesar yang ada kemudian baris-baris dipertukarkan hingga elemen yang terbesar adalah elemen pivot. Pivot sempurna: jika kolom-kolom maupun baris-baris dicari untuk elemen terbesar lalu dipertukarkan. 2. Kesalahan pembulatan Kesalahan pembulatan menjadi penting ketika menyelesaikan sejumlah besar persamaan, disebabkan setiap hasil tergantung pada semua hasil sebelumnya. Akibatnya suatu kesalahan pembulatan dalam langkah sebelumnya cenderung untuk merambat, artinya ia akan meyebabkan kesalahan-kesalahan dalam langkah berikunya

Jebakan Pada Metode Eliminasi Sistem kondisi timpang: Sistem dengan suatu determinan mendekati nol Jika determinan=0 maka solusi tidak terhingga (sitem singular) Penskalaan : mengalikan dengan faktor skala Penskalaan tidak akan mengubah solusi tapi akan mempengaruhi besarnya determinan dan mengurangi pembulatan

Teknik Untuk Memperbaiki Solusi Contoh pemutaran parsial (partial pivoting) Gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan: Harga sebenarnya: x1= 1/3 dan x2=2/3 Elemen pivot pertama 0.0003 sangat mendekati nol Solusi x1 sangat peka terhadap jumlah angka signifikan

Teknik Untuk Memperbaiki Solusi Tetapi jika persamaan diselesaikan dalam urutan yang terbalik, baris dengan elemen pivot yang terbesar dinormalisasikan, sehingga persamaan menjadi: Menghasilkan: Strategi pemutaran memberikan hasil yang lebih memuaskan

Eliminasi Gauss Jordan Merupakan variasi dari eliminasi Gauss. Perbedaan utama adalah eliminasi dihasilkan dalam sebuah matriks kesatuan ketimbang sebuah matriks triangular, sehingga tidak perlu melakukan sunstitusi kebelakang untuk mendapatkan solusi

Eliminasi Gauss Jordan Pecahkan persamaan : Matriks diperluas Reduksi x2 dari baris 1 dan ke 3 Normalisasi baris 1 Normalisasi baris ke3 Baris 1 dikali 0.1 dikurangkan dari baris ke2 Baris 1 dikali 0.3 dikurangkan dari baris ke 2 Reduksi x3 dari baris 1 dan ke 3 Nornamlisasi baris ke 2 x3=7 x2=-2.5 x1= 3

Metode Gauss Siedel Metode eliminasi kurang baik untuk sistem dengan persamaan dengan jumlah besar karena adanya kesalahan pembulatan. Metode Gauss Seidel : merupakan metode iteratif atau aproksimasi Misalkan: sekumpulan persamaan [A] [X]=[C] Jika semua elemen diagonal tidak nol, persamaan pertama dapat diselesaikan untuk x1, persamaan kedua untuk x2 dan seterusnya menurut:

Metode Gauss Siedel Pertama, pilih tebakan awal untuk x. Contoh: sistem 3x 3 Pertama, pilih tebakan awal untuk x. Cara yang mudah untuk mendapatkan tebakan awal adalah dengan mengganggap semua harga adalah nol. Hitung x1 baru menggunakan harga taksiran sebelumnya x1 yang baru disubstitusikan pada persamaan untuk menghitung x2 dan x3 Proses diulangi untuk x2, x3, …

Metode Gauss Siedel Gunakan metode Gauss Siedel untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan: Solusi sebenarnya adalah x1=3, x2=-2.5 dan x3=7 * ** *** Dengan menganggap x2 dan x3 =0 maka dari pers. (*) x1= 7.85/3= 2.616666667 Harga ini bersama dengan anggapan x3=0 dimasukkan ke dalam persamaan (**) untuk mendapatkan x2= - 2.794523810

Metode Gauss Siedel Iterasi pertama diselesaikan dengan memasukkan harga-harga yang dikalkulasikan untuk x1 dan x2 ke dalama persamaan (***) untuk mendapatkan Untuk iterasi kedua proses yang sama diulangi : Iterasi diteruskan sampai kriteria konvergen dipenuhi : Untuk semua i, dimana j dan j-1 adalah iterasi sekarang dan sebelumnya

Tugas Selesaikanlah dengan metode Gauss-Jordan: a. menggunakan kalkulasi tangan ( 8 angka signifikan) b. menggunakan program komputer - flowchart dan listing program beserta hasil perhitungan dilampirkan dalam tugas

Tugas 2. Selesaikanlah dengan metode Gauss-Seidel: menggunakan kalkulasi tangan ( 8 angka signifikan dan εa = 5% ) b. menggunakan program komputer - flowchart dan listing program beserta hasil perhitungan dilampirkan dalam tugas