PERTEMUAN 8-9 METODE GRAFIK OLEH Ir. Indrawani Sinoem, MS.

Metode Grafik : Pemecahan persoalan Program Linear dengan metode grafik ini dibagi 3 (tiga) kasus, yaitu : (1). Kasus Maksimisasi. (2). Kasus Minimisasi. (3). Kasus-kasus Khusus.

(1). Kasus Maksimisasi : kasus pemecah an persoalan PL yang bertujuan mencari seluruh kemungkinan peme- cahan yg memberikan nilai objektif maksimum.

Contoh-1 : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 8 X1 + 6 X2 (Dlm Rp 1.000). 2. Fungsi Pembatas : 2.1. P-Bahan : 4 X1 + 2 X2 ≤ 60 2.2. Penjahitan : 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 X1, X2 ≥ 0

Langkah-langkah penyelesaian : 1. Gambarkan semua persamaan linear fungsi pembatas pd grafik dua dimensi. a. 4X1 + 2X2 ≤ 60 X1 = 0, maka 2X2 ≤ 60 X2 ≤ 30 X2 = 0, maka 4X1 ≤ 60 X1 ≤ 15

X2 30 4X1 + 2X2 ≤ 60 X1 15

2. 2X1 + 4X2 ≤ 48 X1 = 0, maka 4X2 ≤ 48 X2 = 12 X2 = 0, maka 2X1 ≤ 48 X1 = 24 X2 2X1 + 4X2 ≤ 48 12 X1 24

Gambar Fungsi Pembatas : X2 4X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 48 A B X1 O C

dua dimensi. Z = 8 X1 + 6 X2 6 X2 = Z - 8 X1 2. Menggambar Fungsi Tujuan pada grafik dua dimensi. Z = 8 X1 + 6 X2 6 X2 = Z - 8 X1 X2 = Z/6 – 8/6 X1 X2 = Z/6 – 4/3 X1 Δ X2 = 4; Δ X1 = 3 Jika : Δ X2 = 12 maka Δ X1 = 9

Menggambar fungsi tujuan : Z = 8X1 + 6X2 Δ X2 = 12 dan Δ X1 = 9 O 9 C ZA

X2 4X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 48 A B X1 O C ZB ZO ZA ZC Gambar Fungsi Tujuan : X2 4X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 48 A B X1 O C ZB ZO ZA ZC

Wilayah optimum adalah OABC 1. Titik O : X1 = 0 dan X2 = 0; Jadi Zo = 0 2. Titik A : X1 = 0 dan X2 = 12; Jadi ZA = 8000(0)+6000(12) = 72000 3. Titik C : X1 = 15 dan X2 = 0 Jadi ZC = 8000(15) + 6000(0) = 120000 4. Titik B adalah perpotongan antara fungsi pembatas 1 : 4X1 + 2X2 ≤ 60 dan fungsi pembatas 2 : 2X1 + 4X2 ≤ 48

Potongkan persamaan fungsi pembatas 1 dan persamaan fungsi pembatas 2 : 4X1+2X2 = 60 x 2 8X1+4X2 =120 2X1+4X2 = 48 x 1 2X1+4X2 = 48 ---------------------- - 6X1 = 72 X1 = 12 2(12)+4X2=48 X2=(48-24)/2 = 6 Jadi : Z =8000(12)+6000(6)+0+0 = 132.000

Contoh-2 Suatu perusahaan mengahsilkan 2 barang, yaitu A dan B. Masing-masing barang membutuhkan sumberdaya seperti terlihat pada Tabel berikut. Sumberdaya Barang A Barang B Kapasitas Sumberdaya Bahan Mentah 1 2 10 Buruh 6 36 Laba/unit 4.000 5.000 Maksimumkan Peubah Kegiatan X1 X2 Z

Disamping itu, menurut ramalan bagian penjualan permintaan barang A tidak akan melebih 4 unit. Tentukan jumlah barang A dan B yang dihasilkan sehingga memberikan laba maksimum bagi perusahaan ! Penyelesaian : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 4000X1+5000X2

2. Fungsi Pembatas : 2.1. Bahan Mentah : X1+2X2 ≤ 10 2.2. Buruh : 6X1+6X2 ≤ 36 2.3. Permintan A : X1 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0 Metode Aljabar 1. Merubah ketidaksamaan fungsi pemba- tas menjadi persamaan dgn menambah slack variabel (S).

1. Gambarkan Fungsi Pembatas : X1 = 0, maka X2 ≤ 5 METODE GRAFIK 1. Gambarkan Fungsi Pembatas : 1.1. Fungsi Pembatas : X1+2X2 ≤ 10 X1 = 0, maka X2 ≤ 5 X2 = 0, maka X1 ≤ 10 X2 5 X1 10

1.2. Fungsi Pembatas : 6X1+6X2 ≤ 36 X1 = 0, maka X2 ≤ 6 X1 6

1.3. Fungsi Pembatas : X1 ≤ 4 X2 X1≤4 X1 4

atau X2 = Z/X1 – 4/5 X1 2. Menggambar Fungsi Tujuan : Z = 4X1+5X2 C X1 ZC D Zo ZD ZA ZB

X2 X1 ≤ 4 6X1 +6X2 ≤ 36 A B C X1 + 2X2 ≤ 10 O X1 D ZO ZD ZA ZB ZC Metode Grafik X2 X1 ≤ 4 6X1 +6X2 ≤ 36 A B C X1 + 2X2 ≤ 10 O X1 D ZO ZD ZA ZB ZC

Penyelesaian Optimum : 1. Titik O : Zo = 0 2. Titik A : ZA = 4000(0)+5000(5)=25000.- 3. Titik B : X1+2X2 = 10 X1=10-2X2 6X1+6X2=36 6(10-2X2)+6X2=36 X2=4 X1=10-8=2 Z = 4000(2)+5000(4)=28000.- 4. Titik C : X1 = 4 ; 6X1+6X2=36

6(4)+6X2=36 X2=(36-24)/6=2 ZC = 4000(4)+5000(2)=26000 Jadi, kesimpulan barang A = 2 unit dan barang B = 4 unit menghasilkan keuntungan maksimum sebesar Rp 28000.-

(2) Kasus Minimisasi : kasus pemecahan masalah program linear yang bertujuan seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif minimum. Contoh : Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sebagai berikut : setiap sapi peliharaan agar supaya sehat harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit : 27,21, dan 30 satuan unsur

nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M1 dan M2 diberikan kepada sapi peliharaan tersebut. Satu gram makanan jenis M1 mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3,1, dan 1 satuan. Sedangkan satu gram makanan jenis M2 mengandung unsur nutrisi jenis A,B, dan C masing-masing 1,1, dan 2 satuan. Harga satu gram M1 dan M2 masing-masing sebesar Rp40000 dan Rp20000.-

Petani tersebut harus memutuskan apakah membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya kemudian mencampurnya. Tujuan adalah agar jumlah pengeluaran petani tersebut minimum. a. Merumuskan Tabel Persoalan Nutrisi Kandungan Nutrisi Makanan M1 Makanan M2 Jumlah Kandungan Jenis A 3 1 27 Jenis B 1 1 21 Jenis C 30 Harga/gram 40.000 20.000 Minimumkan Peubah X1 X2 Z

b. Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan : Z = 40000X1+20000X2 2. Fungsi Pembatas : 2.1. Nutrisi A : 3X1+ X2 ≥ 27 2.2. Nutrisi B : X1+ X2 ≥ 21 2.3. Nutrisi C : X1+2X2 ≥ 30 X1, X2 ≥ 0

Y A 3X1+X2 ≥ 27 B X1+X2 ≥ 21 C X1+2X2 ≥ 30 D X O ZA ZB ZD ZO ZC (2). Metode Grafik : Y A 3X1+X2 ≥ 27 B X1+X2 ≥ 21 C X1+2X2 ≥ 30 D X O ZA ZB ZD ZO ZC

Kesimpulan : a. Titik O : ZO = 0 b. Titik A : ZA = 40000(0)+20000(27) = 540000.- c. Titik B : ZB = 40000(3)+20000(18) = 480000.- d. Titik C : ZC = 40000(12)+20000(9) = 660000.- e. Titik D : ZD = 40000(30)+20000(0) = 12000000.-

Jadi : Pengeluaran petani yang minimum jika membeli makanan sapi A = 3 satuan dan makanan sampi B = 12 satuan dengan Zmin=Rp 480.000.-

(3). Kasus-kasus khusus Beberapa kasus khusus selain kasus maksimisasi dan minimisasi adalah kasus solusi optimum ganda dan tidak memiliki solusi yang layak. Contoh : a. Solusi Optimum Ganda 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 4X1 + 4X2

2. Fungsi Pembatas : X1 + 2X2 ≤ 10 X1 + 6X2 ≤ 36 X1 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0 b. Tidak Memiliki Solusi Layak 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 5X1 + 3X2

2. Fungsi Pembatas : 4X1 + 2X2 ≤ 8 X1 ≥ 3 X2 ≥ 7 X1, X2 ≥ 0