KONSEP FUNGSI & FUNGSI LINEAR – Bagian 1

Tujuan Pembelajaran Umum Mahasiswa mampu memahami konsep matematika yang dapat digunakan pada penerapan ekonomi sehingga dapat diaplikasikan untuk memecahkan persoalan-persoalan ekonomi.

Tujuan Pembelajaran Khusus Mampu menjelaskan mengenai pengertian fungsi. Mampu menjelaskan jenis-jenis fungsi. Mampu menjelaskan mengenai pembentukan persamaan linier. Mampu menerapkan konsep fungsi linier pada bidang ekonomi.

Fungsi dan hubungan Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Suatu Fungsi adalah suatu hubungan di mana setiap elemen dari wilayah (domain) saling berhubungan dengan satu dan hanya satu elemen dari jangkauan (range)

Unsur Pembentuk Fungsi Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: Variabel Koefisien Konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi.

Unsur Pembentuk Fungsi Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf Latin (berdasarkan kesepakatan umum) Dituliskan dengan ‘huruf kecil’ untuk menjadi perlambang sumbu di sistem koordinat (absis dan ordinat) Terdiri dari dua jenis: Variabel Bebas (independen)  variabel yang nilainya tidak tergantung / dipengaruhi oleh variabel lain Variabel Terikat (dependen)  variabel yang nilainya bisa tergantung / dipengaruhi oleh variabel lain; umumnya oleh variabel bebas

Unsur Pembentuk Fungsi Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu).

Unsur Pembentuk Fungsi Misalnya, ada sebuah fungsi  y = 5 + 0,8x y  variabel terikat x  variabel bebas 0,8  koefisien variabel x 5  konstanta Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x)

Unsur Pembentuk Fungsi: Tambahan Selain variabel bebas dan terikat, dalam statistika dan/atau ekonometrika akan dikenal jenis variabel lain seperti: “regresor” dan “regresan” “variabel penjelasan” dan “variabel yang dijelaskan” “variabel eksogen” dan “variabel endogen”

Pembagian Jenis Fungsi Fungsi polinom mengandung banyak suku dalam variabel bebasnya. y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …… + anxn Fungsi linear sering disebut fungsi berderajat satu y = a0 + a1x Fungsi kuadrat Fungsi polinom yang pangkat tertingginya adalah pangkat dua y = a0 + a1x + a2x2

Fungsi Eksplisit & Fungsi Implisit Bentuk Eksplisit Bentuk Implisit Umum y = f(x) f (x , y) = 0 Linear y = a0 + a1x a0 + a1x – y = 0 Kuadrat y = a0 + a1x + a2x2 a0 + a1x + a2x2 – y = 0 Kubik y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 a0 + a1x + a2x2 + a3x3 – y = 0

Penggambaran Kurva Linear Dalam menggambarkan suatu fungsi kita meletakkan variabel bebas (x) pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat (y) pada sumbu vertikal (ordinat). Disebut juga kurva linear. Misalnya, kita harus menggambar kurva linear dari fungsi: 1) y = 3 + 2x 2) y = 2x 3) y = 8 – 2x

Penggambaran Kurva Linear: Contoh Proses 1: buat tabel yang menggambarkan hubungan matematis x dan y (baca: untuk tahu koordinat titik-titik y) 1) y = 3 + 2x 2) y = 2x 3) y = 8 – 2x X Y 1 2 4 3 6 8 X Y 8 1 6 2 4 3 X Y 3 1 5 2 7 9 4 11

Penggambaran Kurva Linear: Contoh Proses 2: menentukan titik pertemuan antara masing-masing titik x dan titik. Setelah semua titik pertemuan ditentukan, hubungkan dengan garis.

Penggambaran Kurva Linear: Contoh

Pembentukan Persamaan Linear Ada empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear, tergantung dari ketersediaan data yang diketahui: Cara Dwi-Koordinat Cara Koordinat-Lereng Cara Penggal-Lereng Cara Dwi-Penggal

Cara Dwi-Koordinat Misal, jika hanya diketahui titik A (2, 3) & titik B (6, 5) maka persamaan linearnya bisa dicari dengan: 𝑦 −𝑦1 𝑦2 −𝑦1 = 𝑥 −𝑥1 𝑥2 −𝑥1 Dimana: Angka 2 di titik A adalah x1 dan angka 3 di titik B adalah y1 Angka 6 di titik A adalah x2 dan angka 5 di titik B adalah y2

Cara Dwi-Koordinat (1)-----------> (2)-----------> 𝑦 −𝑦1 𝑦2 −𝑦1 = 𝑥 −𝑥1 𝑥2 −𝑥1 𝑦 −3 5 −3 = 𝑥 −2 6 −2 𝑦 −3 2 = 𝑥 −2 4 4y – 12 = 2x – 4 4y = 2x +8 y = 0,5x + 2 (1)-----------> (2)-----------> (3)-----------> (4)-----------> (5)-----------> (6)----------->

Cara Koordinat-Lereng Apabila yang diketahui adalah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan ‘lereng’ garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya: y – y1 = b (x – x1) Misal, diketahui A (2, 3) dan lereng = 0,5 maka: y – 3 = 0,5 (x – 2) y = 0,5x – 1 + 3 y = 0,5x + 2

Cara Penggal-Lereng Hanya dengan memasukkan / substitusi konstanta persamaan dengan ‘penggal’ dan koefisien persamaan dengan ‘lereng’ Misal, diketahui penggalnya adalah 2 dan lereng adalah 0,5 maka persamaan linearnya adalah y = 0,5x + 2

Cara Dwi-Penggal Digunakan bila hanya diketahui dua angka ‘penggal’ vertikal (sumbu y) dan horizontal (sumbu x), dan rumusnya adalah: 𝑦=𝑎 − 𝑎 𝑐 𝑥 Misalnya, diketahui penggal sebuah garis terletak pada koordinat (0, 2) dan (-4, 0) ‘penggal’ sumbu y = 2  (a) ‘penggal’ sumbu x = -4  (c) 𝑦=2 − 2 −4 𝑥  y = 2 + 0,5x

Hubungan Dua Garis Lurus

Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear Maksudnya adalah, menghitung besar variabel-variabel di dalam persamaan yang bersangkutan, atau menghitung harga dari bilangan-tak-diketahui (bilangan anu) dalam persamaan tersebut. Satu bilangan anu dapat dicari dengan satu persamaan. Dua bilangan anu dapat dicari dengan dua persamaan. Tiga bilangan anu dapat dicari dengan tiga persamaan. Dan seterusnya. Dapat dicari dengan cara substitusi dan cara eliminasi.

Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear: Cara Substitusi Misalnya, carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Petunjuk 1: selesaikan salah satu persamaan dengan memasukkan, misalnya, persamaan kedua ke dalam persamaan kesatu. (1)……….. x+ 4y = 23  x = 23 – 4y (2)……….. 2(23 – 4y) + 3y = 21 (3)……….. 46 – 8y + 3y = 21 (4)……….. 46 – 5y = 21 (5)……….. 5y = 25  y = 5 Petunjuk 2: masukkan y = 5 ke dalam salah satu persamaan untuk mencari nilai x. Misalnya, 2x + 3(5) = 21  2x = 6  x = 3

Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear: Cara Eliminasi Misalnya, carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Petunjuk 1: tentukan dulu bilangan anu yang hendak dihilangkan dari kedua persamaan, misalnya x. Caranya adalah dengan mengkali/membagi salah satu persamaan tersebut dengan angka yang membuat koefisien x di kedua persamaannya menjadi sama. 2x + 3y = 21 (x1)…… 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 (x2)…... 2x + 8y = 46

Petunjuk 2: Tentukan dengan apakah bilangan anu (x, dalam hal ini) bisa hilang, apakah dengan penjumlahan / pengurangan ? 2x + 3y = 21 (x1)…… 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 (x2)…... 2x + 8y = 46 -5y = -25 y = 5 Petunjuk 3: setelah ditemukan y =5, masukkan bilangan tersebut ke salah satu persamaan sehingga akan ditemukan bahwa x = 3

Tugas Mandiri 4.1 Jika diketahui f(x) = 10 + 5x, tentukan: f(-2); f(-1); f(1); f(2); dan f(3) Dan gambarlah grafiknya Jika diketahui 𝑓 𝑥 = 15 - 2x , tentukan f(2), f(4), f(6), f(8), dan f(10) Jika diketahui 𝑓 𝑥 = 150+20𝑥 𝑥 , tentukan f(1), f(2), f(3), f(4), dan f(5)

Tugas Mandiri 4.1 Bentuklah persamaan linear dengan petunjuk: Titik A (-1,4) dan titik B (1,0) Titik A (-1,-2) dan titik B (-5,2)  koreksi Titik A (-1, 3) dan lereng sebesar -1 Titik A (2, 3) dan lereng sebesar 5 Penggal terletak pada titik (0,3) dan (-5,0) Penggal terletak pada titik (0,8) dan (-4,0) Carilah akar-akar dari persamaan linear berikut ini dengan menggunakan cara substitusi dan eliminasi 2x + 3y = 13 dan 4x + y = 15 8x = 4 + 4y dan 2x + 3y – 21 = 0