OPERASI VEKTOR DAN MATRIKS

VEKTOR PANJANG VEKTOR BESARAN VEKTOR PENAMBAHAN VEKTOR PERKALIAN VEKTOR DOT PRODUCT CROSS PRODUCT

PANJANG VEKTOR a = (x2-x1, y2-y1) = (5, 5) Translasi, tx= 2, ty = 4

BESARAN VEKTOR (X1,Y1) = (2,3) ||a|| = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 (X2,Y2) = (7,8) = 𝟐𝟓+𝟐𝟓 = 𝟓𝟎

PENAMBAHAN VEKTOR a+b = b+a b = (8,9) a (2,5) a+b = ((8+2),(5+9)) = (10,14)

PERKALIAN VEKTOR : DOT / SKALAR PRODUCT a.b = |a||b|cos θ a = (xa,ya), b = (xb, yb) |xa| |xb| |ya| . |yb| |za| |zb | = (xa.x+ya.y+za.z).(xb.x+yb.y+zb.z) = xa.xb.x.x + xa.yb.x.y + xa.zb.x.z + ya.xb.y.x + ya.yb.y.y + ya.zb.y.z + za.xb.z.x + za.yb.z.y + za.zb.z.z KARENA SUDUT X,Y,Z ADALAH 90 DERAJAT DAN COS 90 ADALAH 0, SUDUT ANTARA X DENGAN X, Y DENGAN Y, Z DENGAN Z ADALAH 0 DERAJAT, COS 0 ADALAH 1, MAKA : xa.xb.x.x + ya.yb.y.y + za.zb.z.z = xa.xb+ ya.yb + za.zb

PERKALIAN VEKTOR : CROSS PRODUCT a X b = |a||b|sin θ a = (xa,ya), b = (xb, yb) x x y = z, y x x = -z, x x z = -y, z x x = y, y x z = x, z x y = -x |xa| |xb| |ya| x |yb| |za| |zb| = (xa.x+ya.y+za.z)x(xb.x+yb.y+zb.z) = xa.xb.x X x + xa.yb.x X y + xa.zb.x X z + ya.xb.y X x + ya.yb.y x y + ya.zb.y x z + za.xb.z X x + za.yb.z X y + za.zb.z X z =

MATRIKS m x n, m adalah baris, n adalah kolom Contoh : matriks 2 x 3 1 2 3 4 5 6

PERKALIAN MATRIKS – SKALAR Kalikan tiap elemennya 1 2 3 4 5 6 . 3 = 3 6 9 12 15 18

PERKALIAN MATRIKS-MATRIKS Syarat : jumlah kolom di matriks pertama = jumlah baris di matriks kedua, kalikan baris dengan kolom 1 2 3 4 5 6 . 1 2 3 4 5 6 = (1.1+2.3+3.5) (1.2+2.4+3.6) (4.1+5.3+6.5) (4.2+5.4+6.6) = 22 28 49 64

PERKALIAN MATRIKS – VEKTOR Perlakukan vektor seperti matriks

MATRIKS TRANSPOSE Kolom jadi baris dan baris jadi kolom (AB) T =BT AT

MATRIKS IDENTITAS I3X3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 AA-1= A-1A = I (AB) -1 = B-1A-1

PERKALIAN VEKTOR DALAM BENTUK MATRIKS DOT PRODUCT a.b = aTb 𝑥𝑎 𝑦𝑎 𝑧𝑎 . 𝑥𝑏 𝑦𝑏 𝑧𝑏 = (xa.xb + ya.yb + za.zb) CROSS PRODUCT a x b = A*b A = dual matriks dari a, maka : 𝑥𝑎 𝑥 𝑥𝑎 𝑥𝑎 𝑥 𝑦𝑎 𝑥𝑎 𝑥 𝑧𝑎 𝑦𝑎 𝑥 𝑥𝑎 𝑦𝑎 𝑥 𝑦𝑎 𝑦𝑎 𝑥 𝑧𝑎 𝑧𝑎 𝑥 𝑥𝑎 𝑧𝑎 𝑥 𝑦𝑎 𝑧𝑎 𝑥 𝑧𝑎 . 𝑥𝑏 𝑦𝑏 𝑧𝑏 = 0 𝑧𝑎 −𝑦𝑎 −𝑧𝑎 0 𝑥𝑎 𝑦𝑎 −𝑥𝑎 0 . 𝑥𝑏 𝑦𝑏 𝑧𝑏

ORTHOGONAL DUA VEKTOR ATAU LEBIH DISEBUT ORTHOGONAL JIKA SUDUTNYA 90 DERAJAT a(1,0,-1) b(1,√2,1) c(1, -√2, 1) a.b = (1,0,-1). (1, √2,1) = 1+0+-1 = 0 a.c = (1,0,-1). (1, -√2, 1) = 1+0+-1 = 0 b.c = (1, √2,1). (1, -√2, 1) = 1+-2+1=0

a(1,0,-1), |a| = √2 b(1,√2,1), |b| = 2 c(1, -√2, 1), |c| = 2 Normalisasi = v / |v| a / |a| = (1,0,-1) / √2 = (1/√2, 0, -1/√2) b/ |b| = (1, √2,1) / 2 = (1/2, √2/2,1/2) c / |c| = (1, − 2 ,1) / 2 = (1/2,-√2/2,1/2)

ORTHONORMAL HARUS ORTHOGONAL BESARANNYA HARUS 1 a(1,0,-1) = ||a|| = 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧 2 = √2 b(1, √2,1) = ||b|| = 2 c(1, - √2, 1) = ||c|| = 2

ORTHONORMAL BESARAN : ||a||= √2 ||b|| = 2 ||c|| = 2 NORMALISASI : v / ||v|| a(1/ √2, 0, -1/ √2), jadi ||a|| = 1 b(1/2, √2 /2, ½), jadi ||b|| = 1 c(1/2, - √2 /2, ½ ), jadi ||c|| = 1

COORDINATE FRAME Ada sistem koordinat lokal, global, bagian dari karakter (kepala, tangan, dll) Diperlukan untuk transformasi antar sistem koordinat Coordinate frame : ORTHONORMAL ||u||=||v||=||w||=1 u.v = u.w = v.w = 0 w = u x v

COORDINATE FRAME Misal : arah pandang diwakili dengan vektor a Maka untuk membuat koordinat perlu vektor b dan c Asosiasikan a dengan w, dan b dengan v, dimana b adalah arah atas dari kamera Vektor ketiga adalah u yang harus tegak lurus dengan v dan w

COORDINATE FRAME Maka lakukan normalisasi untuk w : Kemudian tentukan u, dimana harus tegak lurus dengan w dan b, maka : u = 𝑏 𝑥 𝑤 | 𝑏 𝑥 𝑤 | Maka v = w x u