(Basic Control System) DASAR SISTEM KONTROL (Basic Control System) Tim Penyusun: Ir. Porman Pangaribuan, M.T. Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T. Agung Surya Wibowo, M.T. Cahyantari Ekaputri, M.T. Program Studi S1 Teknik Elektro

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 ROOT LOCUS Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Learning Outcome Kuliah ini membekali mahasiswa, agar mampu membuat analisis dan desain sistem kontrol dengan metode root locus. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 “Root Locus adalah tempat kedudukan akar-akar dari persamaan karakteristik pada sistem lup tertutup.” - W.R. Evan Definisi Root Locus Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Tinjau sistem lup tertutup: Bagaimana mencari persamaan karakteristiknya?? Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Fungsi alih sistem lup tertutup: 𝐶 𝑠 𝑅 𝑠 = 𝐾𝐺(𝑠) 1+𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 Persamaan karakteristik sistem: 1+𝐾𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =0 Bagaimana jika penguatan proporsionalnya, 𝐾 diubah nilainya? (mulai 𝐾=0 s.d. 𝐾→∞) (akar-akar persamaan karakteristik akan berubah sesuai dengan lintasan root locus) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Cara Menggambar Root Locus: 1. Secara langsung (plot akar-akar persamaan karakteristik) 2. Menggunakan metode menggambar root locus 3. Menggunakan software MATLAB Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Menggambar Root Locus (Secara Langsung) Contoh kasus: Kontrol Posisi Sudut Radar Sistem Kontrol Posisi Sudut Radar Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Pemodelan Sistem Kontrol Posisi Sudut Radar Blok Diagram Sistem Kontrol Blok Diagram Sistem Kontrol dengan Fungsi Alih Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Fungsi Alih Lup Tertutup: 𝜃 𝑅 𝑠 𝜃 𝐴 𝑠 = 𝐾 𝑠 2 +2𝑠+𝐾 Persamaan Karakteristik: 𝑠 2 +2𝑠+𝐾=0 Akar-akar persamaan karakteristik: 𝑠 1,2 = −2± 4−4𝐾 2 =−1± 1−𝐾 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Tabel akar-akar persamaan karakteristik dari 𝐾=0 s.d. 𝐾→∞ 𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 −2 1 −1 2 −1+𝑗1 −1−𝑗1 10 −1+𝑗3 −1−𝑗3 101 −1+𝑗10 −1−𝑗10 ⋮ ∞ −1+𝑗∞ −1−𝑗∞ Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Plot akar-akar persamaan karakteristik, dengan menghubungkan tiap titik membentuk lintasan akar-akar (root locus) CARA #1 ini tidak praktis, terutama untuk sistem orde tinggi, mencari akar-akar persamaan karakteristiknya akan cukup rumit. Untuk membuat sketsa root locus secara mudah dan cepat, gunakan CARA #2!  Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

2. Metode Menggambar Root Locus Sebelum mulai menggambar, kita pelajari dulu sifat-sifat root locus: Root locus mempunyai sifat simetris terhadap sumbu nyata, 𝑅𝑒(𝑠). Root locus bermula dari pole-pole lup terbuka, 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠), untuk 𝐾=0; dan berakhir di zero-zero lup terbuka, 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠), untuk 𝐾→∞, termasuk zero di titik tak hingga. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Syarat magnitudo dan syarat sudut pada lintasan root locus Persamaan karakteristik: 1+𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =0 atau 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =−1  Syarat magnitudo : 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =1  Syarat sudut : ∠𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =±180°(2𝑘+1) dimana 𝑘=0,1,2,… Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Misalkan 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠): 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 = 𝐾 𝑠+ 𝑧 1 𝑠+ 𝑝 1 𝑠+ 𝑝 2 (𝑠+ 𝑝 3 )(𝑠+ 𝑝 4 ) = 𝐾. 𝐴 1 ∠ 𝜙 1 𝐵 1 ∠ 𝜃 1 . 𝐵 2 ∠ 𝜃 2 . 𝐵 3 ∠ 𝜃 3 . 𝐵 4 ∠ 𝜃 4 diperoleh:  Magnitudo :  Sudut fasa : ∠𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 = 𝜙 1 − 𝜃 1 − 𝜃 2 − 𝜃 3 − 𝜃 4 Ket.: 𝑧 1 adalah zero lup terbuka; 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 , dan 𝑝 4 adalah pole-pole lup terbuka NB: Coba kalian mengingat kembali tentang bilangan kompleks 𝑠=Re+𝑗Im=𝜎+𝑗𝜔= 𝑠 ∠𝜃 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Titik uji pada Bidang-𝑠 NB: Jika titik uji berada pada lintasan root locus, harus memenuhi syarat magnitudo dan syarat sudut. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Metode Menggambar Root Locus Diberikan sistem umpan balik satuan seperti gambar di atas (dengan 𝐾>0). Untuk sistem ini, gambarkan sketsa plot Root Locus. Tentukan nilai penguatan proporsional, 𝐾 sehingga rasio redaman, 𝜉 pada akar-akar dominan kompleks-lup tertutupnya adalah 0,5. Penyelesaian: Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang-𝑠. Pole dan zero lup terbuka: Pole: 𝑝 1 =0, 𝑝 2 =−1, 𝑝 3 =−2 Zero: (tidak ada) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Tentukan Root Locus pada sumbu nyata. Syarat Sudut: ∠𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =± 180 0 (2𝑘+1); 𝑘=0, 1, 2, … Ambil titik uji: bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Tentukan asimtot Root Locus: Jumlah asimtot =𝑛−𝑚=3−0=3 Sudut-sudut asimtot ={−60°,60°,180°} Titik potong asimtot = 0+ −1 + −2 −0 3−0 =− 3 3 =−1 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Tentukan titik break-away/break-in. dimana sehingga: (berada pd Root Locus) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Pada contoh soal, tidak ada sudut datang/pergi karena tidak mempunyai pole dan zero (lup terbuka) kompleks. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Tentukan batas kestabilan mutlak sistem Cari perpotongan Root Locus dengan sumbu imajiner. Cara 1: dengan uji kestabilan Routh-Hurwitz Persamaan karakteristik sistem: Tabel Routh-Hurwitz: Diperoleh 𝐾=6 Pada tabel baris ke-2: Titik Potong Sb. Imajiner: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Tentukan batas kestabilan mutlak sistem Cari perpotongan Root Locus dengan sumbu imajiner. Cara 2: dengan substitusi 𝑠=𝑗𝜔 pada persamaan karakteristik Persamaan karakteristik sistem: 𝑠 3 +3 𝑠 2 +2𝑠+𝐾=0 substitusi 𝑠=𝑗𝜔 : 𝑗𝜔 3 +3 𝑗𝜔 2 +2 𝑗𝜔 +𝐾=0 dipisahkan bagian riil dan imajinernya menjadi: 𝐾−3 𝜔 2 +𝑗 2𝜔− 𝜔 3 =0 bagian riil dan imajinernya bernilai nol, shg diperoleh: 𝜔= 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠  𝐾=3 𝜔 2 =6 atau titik potong sb. imajiner: 𝑠=±𝑗𝜔=±𝑗 2 (Diperoleh hasil yang sama ) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Cari titik-titik bantu lain di sekitar sb. Imajiner dan titik asal (opsional). Gunakan syarat sudut: 𝜃 1 + 𝜃 2 + 𝜃 3 =±180° Gambar Root Locus dengan menghubungkan titik-titik bantu Root Locus yang sudah diperoleh pada tahapan sebelumnya. Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Plot Root Locus dengan Matlab Persamaan karakteristik pada Matlab: 1+𝐾 𝑛𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑛 =0 Syntax Matlab: 𝑟𝑙𝑜𝑐𝑢𝑠(𝑛𝑢𝑚,𝑑𝑒𝑛) Atau jika sistem dalam bentuk konstanta matriks pada ruang keadaan: 𝑟𝑙𝑜𝑐𝑢𝑠(𝐴,𝐵,𝐶,𝐷) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh: Plot Root Locus dengan Matlab: Untuk sistem di bawah, gunakan Matlab untuk menggambar Root Locus. Penyelesaian: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh: Plot Root Locus dengan Matlab: Hasil simulasi Matlab: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Terima Kasih  Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3