Nama kelompok Elan Wirda Safetra (0913021 Aliza Ramadhani (1113021006) Hani Ervina Pansa ( 1113021034) Ni Made Ratna Wijaya (1113021054)  

DIMENSI TIGA

Kedudukan titik , garis , dan bidang Pengertian titik : titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya , tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi).

Pengertian garis , Sebuah garis (dimaksudkan adalah garis lurus) dapat diperpanjang sekehendak kita . bagiaan dari garis disebut wakil garis. Garis hanya mempunyai ukuran panjang , tetapi tidak mempunyai ukuran lebar Pengertian bidang Sebuah bidang (dimaksudkan adalah bidang datar) dapat diperluas seluas-luasnya . pada umumnya , sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang.

Aksioma-aksioma Euclides Melalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.   Aksioma 2 Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persektuan , maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang . Aksioma 3 Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.  Aksioma 4 Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis , hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajr dengan garis itu .

Dari ketiga aksioma didapat 4 buah dalil untuk mentukan sebuah bidang Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang .   Dalil 2 Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik ( titik berada diluar garis). Dalil 3 Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan . Dalil 4 Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar .

Dalil – dalil tentang dua garis sejajar Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m , maka garis k sejajar dengan garis m .   Dalil 6 Jika garis k sejajar garis h dan memotong garis g, garis l sejajar garis h dan juga memotong garis g maka garis-garis k ,l ,dan g terletak pada sebuah bidang . Dalil 7 Jika garis k sejajar garis l dan garis l menembus bidang ᾱ, maka garis k juga menembus bidang ᾱ

Dalil –dalil tentang garis sejajar bidang Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang ᾱ , maka garis g sejajar dengan bidang ᾱ . Dalil 9 Jika bidang ᾱ melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang ẞ , maka garis potong antara bidang ᾱ dengan bidang ẞ akan sejajar terhadap garis g . Dalil 10 Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar tehdap bidang ᾱ , maka garis g sejajar terhadap bidang ᾱ . Dalil 11 Jika bidang ᾱ dan bidang ẞ berpotongan dan masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang ᾱ dan bidang ẞ akan sejajar dengan garis g .  

Dalil-dalil tentang dua bidang sejajar Jika garis ᾱ sejajar garis g dan garis ẞ sejajar garis h , garis ᾱ dan garis ẞ berpotongan terletak pada bidang ᾱ garis g dan garis h berpotongan terletak pada bidang ẞ, maka bidang ᾱ sejajar dengan bidang ẞ . Dalil 13 Jika bidang ᾱ sejajar bidnag ẞ dan dipotong oleh bidang Ȳ maka garis potong (ᾱ,Ȳ) sejajar garis potong (ẞ,Ȳ). Dalil 14 Jika garis g menembus bidang ᾱ dan bidnag ᾱ sejajar bidang ẞ , maka garis g juga menmbus bidang ẞ . Dalil 15 Jika garis g sejajar bidang ᾱ dan bidang ᾱ sejajar bidang ẞ , maka gris g juga sejajar bidang ẞ. Dalil 16 Jika garis g terletak pada bidang ᾱ dan bidang ᾱ sejajar bidang ẞ, maka garis g sejajar bidang ẞ. Dalil 17 Jika bidang ᾱ sejajar bidang ẞ dan bidang Ȳ memoton bidang ᾱ, maka bidang Ȳ juga memotong bidang ẞ. Dalil 18 Jika bidang ᾱ sejajar bidang ẞ dan bidang ẞ sejajar bidang Ȳ , maka bidang ᾱ sejajar bidang Ȳ. Dalil 19 Jika bidang ᾱ sejajar bidang U dan bidang ẞ sejajar bidnag v , bidang ᾱ dan bidang ẞ , berpotongan pada garis ( ᾱ,ẞ) bidang U dan bidang V berpotongan pada garis ( U, V) maka garis (ᾱ,ẞ ) sejajar garis (U,V) .

Menentukan jarak dalam ruang

Jarak titik ke titik , titik ke garis , dan titik ke bidang 1. Jarak titik ke titik Jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang dapat digambarkan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB.

2. Jarak titik ke garis Jika sebuah titik berada di luar garis , maka ada jarak antara titik ke garis itu. Jarak titik A ke garis g (titik A berada di luar garis g ) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah Membuat bidang α yang melalui titik A dan garis g Pada bidang α tersebut membuat garis AP tegak lurus terhadap garis g. Ruas garis AP merupakan jarak titik A ke garis g

3. Jarak titik ke bidang Jika sebuah titik berada di luar bidang , maka ada jarak antara titik ke bidang itu.  Jarak titik A ke bidang α (titik A berada di luar bidang α) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah –langkah Membuat garis g yang melalui titik A dan tegak lurus bidang α. Garis g menembus bidang α di titik Q Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke garis g

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk a Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Titik P pertengahan rusuk CG hitung jarak : Titik A ke titik B Titik A ke titik C Titik A ke titik G Titik A ke titik P

jarak garis ke garis, garis ke bidang, dan bidang ke bidang 1. jarak dua garis sejajar misalkan diketahui garis g dan garis h sejajar, jarak antara garis g dan garis h yang sejajar itu dapat digambarkan dengan cara sebagai berikut : membuat bidang α yang melalui garis g dan garis h membuat garis k yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h misalnya titik-titik potong itu berturut –turut titik A dan titik B panjang ruas garis AB ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan garis h yang sejajar

2. jarak dua garis bersilangan misalkan garis g dan garis h bersilangan . jarak antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat dapat digambarkan dengan langkah-langkah sebagai berikut: membuat garis g’ sejajar garis g sehingga memotong garis h.Garis g’ dan h membentuk bidang α. Membuat garis k yang tegak lurus terhadap g’ dan h . Garis k dan h membentuk bidang β dan bidang β ditembus oleh garis g di titik P Membuat garis melalui P dan sejajar garis k sehingga memotong garis h di titik Q. PQ tegak lurus terhadap garis g dan juga terhadap garis h , sehingga panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak garis g dan garis h yang bersilangan .

3. jarak garis dan bidang yang sejajar misalkan garis g dan bidang α sejajar . Jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar itu dapat digambarkan melalui langkah-langkah senbagai berikut : ambil sebarang titik P pada garis g membuat garis k yang melalui titik P dan tegak lurus bidang α garis k memotong atau menembus bidang α di titik Q panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar

4. jarak dua bidang sejajar misalkan bidang α sejajar dengan β. Jarak antara bidang α dan bidang β yang sejajar dapat digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut: mengambil sebarang titik P pada bidang α membuat garis k yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang β garis k memotong atau menembus bidang β di titik Q panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara bidang α dan bidang β yang sejajar

Menentukan Sudut Dalam Ruang

A. Sudut antara garis dengan garis Sudut antara dua garis berpotongan Misalkan garis g dan garis h berpotongan di titik P sehingga kedua garis itu terletak pada sebuah bidang α. Sudut antara garis g dan h yang berpotongan dapat digambarkan melalui langkah-langkah berikut : a. Ambil sembarang titik A pada garis g dan sembarang titik B pada garis h b. Besar sudut APBditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan

Gambar h . B . . P g A α

menembus bidang α di P dan garis h terletak pada 2. Sudut antara dua garis bersilangan Besar sudut antara dua garis yang bersilangan dapat ditentukan dengan pertolongan sifat sudut dalam geometri bidang datar. “Dua buah sudut dikatakan sama besar, jika kaki-kaki kedua sudut itu sejajar dan searah” Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilangan. Garis g menembus bidang α di P dan garis h terletak pada bidang α. Sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat digambarkan melalui langkah -langkah berikut.

Langkah-langkahnya Ambil sembarang titik O pada bidang α. Melalui titik O, buatlah garis g’ // garis g dan garis h’ // garis h. 3.Sudut yang dibentuk oleh garis g’ dan garis h’ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan.

Gambar g g’ . . h h’ α

- Garis terletak pada bidang - Garis sejajar Bidang, dan Sudut Antara Garis dan bidang - Garis terletak pada bidang - Garis sejajar Bidang, dan Garis memotong atau menembus bidang Jika sebuah garis memotong atau menembus bidang, maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu.

Misalkan bahwa garis g memotong bidang α di titik tembus P Misalkan bahwa garis g memotong bidang α di titik tembus P. Sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut : Ambil sebarang titik Q pada garis g Melalui titik Q, dibuatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang α. Garis h ini menembus bidang α di titik Q’ Sudut QPQ’ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan

. . . α Gambar g’ Q P h Q’ g’ h Catatan 1. garis g’ yang melalui P dan Q’ pada gambar diatas disebut proyeksi garis g pada bidang α. 2. sudut antara garis g dan bidang α dilambangkan dengan sudut (g, bidang α)

Sudut antara bidang dan bidang - dua bidang berimpit - dua bidang sejajar - dua bidang berpotongan Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang berimpit atau dua bidang yang sejajar itu sama dengan nol. Tetapi jika dua bidang berpotongan, maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan itu.

melalui langkah-langkah sebagai berikut : Misalkan bahwa bidang α dan bidang β berpotongan pada garis potong (α, β). Sudut antara bidang α dan bidang β yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut : Melalui titik P, buatlah garis PQ pada bidang α dan garis PR pada bidang β yang masing-masing tegak lurus terhadap garis potong α, β).. Sudut QPR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidng α dan bidang β yang berpotongan. Perhatikan bahwa sudut QPR merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis PQ dengan garis PR.

Gambar Q α S P β R Berdasarkan paparan diatas , sudut antara dua bidang berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut. Definisi : Sudut antara dua bidang yang berpotongan. Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang kedua), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.