Jurusan Sistem Informasi MATAKULIAH STATISTIK STOKASTIK Semester 5 Jurusan Sistem Informasi STMIK Bandung

Kompetensi yang diharapkan : Mahasiswa dapat memahami beberapa model proses stokastik Materi Perkuliahan: 1) Teori peluang 2) Proses Poisson 3) Rantai Markov 4) Proses/ Teori pembaruan

Metode : Evaluasi : Daftar pustaka : Kuliah/ Ceramah/ Presentasi Diskusi Evaluasi : Tugas Ujian tengah semester Ujian akhir semester Daftar pustaka : Ross (1996), STOCHASTIC PROCESSES, New York: John Wiley & Sons Ross (1997), INTRODUCTION to PROBABILITY MODELS, New York: Academic press Subanar (1996), PROBABILITY, VARIABEL RANDOM & PROSES STOCHASTIC 4). Parzen (1962), STOCHASTIC PROCESSES

Overview Proses stokastik adalah salah satu cabang ilmu statistika. Kata stokastik (stochastics) merupakan jargon untuk keacakan (Random).  Proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang,( Oxford Dictionary (1993)). Setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) dikatakan mengikuti proses stokastik (Hull, 1989, hlm.62) Dengan demikian, jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang suatu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik.

Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga, dimana model deterministik tidak lagi cocok dipakai untuk menganalisis sistem. Dalam teori probabilitas, probabilitas menunjuk pada eksperimen yang terdiri dari prosedur dan pengamatan. Konsep variabel stokastik memetakan hasil eksperimen tersebut ke dalam garis bilangan real. Sedangkan konsep proses stokastik(acak) merupakan perluasan dari konsep variabel stokastik dengan memasukkan waktu. Kata proses dalam konteks ini berarti fungsi dari waktu. Jadi proses stokastik (acak) dapat diartikan sebagai fungsi stokastik dari waktu.

KONSEP PROSES STOKASTIK Konsep proses stokastik didasarkan pada perluasan konsep variabel stokastik dengan memasukkan waktu. Karena variabel stokastik X berdasarkan definisinya merupakan fungsi dari outcome yang mungkin s dari eksperimen, maka proses stokastik menjadi fungsi dari s dan waktu. Dengan kata lain, fungsi waktu x(t,s) untuk setiap outcome s. Keluarga dari seluruh fungsi ini dinotasikan X(t,s) disebut proses stokastik. Dalam notasi pendek proses stokastik dinyatakan dengan X(t). Jelas bahwa, proses stokastik X(t,s) merepresentasikan suatu ansambel dari fungsi waktu bila t dan s variabel.

Setiap anggota fungsi waktu disebut fungsi sampel atau seringkali disebut dengan realisasi dari proses. Gambar di bawah ini mengilustrasikan tiga fungsi sampel yang merupakan anggota dari ansambel. Jadi, proses stokastik juga merepresentasikan fungsi sampel bila t adalah variabel dan s tetap pada nilai tertentu (outcome). Proses stokastik juga merepresentasikan variabel stokastik bila t adalah tetap dan s variabel. Sebagai contoh, variabel stokastikX(t1,s)=X(t1) diperoleh dari proses bila waktu dipertahankan pada nilai t1. Seringkali digunakan notasi X1 untuk menotasikan variabel stokastik yang dihubungkan dengan proses X(t) pada waktu t1. X1 berhubungan dengan irisan secara vertikal dari seluruh ansambel pada waktu t1 sepeti yang ditunjukkan pada gambar. Sifat-sifat statistik dari X1 = X(t1) mendeskripsikan sifat-sifat statistik dari proses stokastik pada waktu t1. Nilai ekspektasi dari X1 ini disebut rata-rata ansambel atau nilai mean dari proses stokastik (pada waktu t1).

Peluang, Peubah Acak dan Distribusi BAB 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi Secara teoritis, suatu proses stokastik {Yt} adalah koleksi peubah acak dengan t menyatakan indeks waktu. Oleh karenanya, pemahaman mengenai peubah acak dan peluang suatu peubah acak bernilai tertentu sangatlah penting.

Perhatikan ilustrasi berikut: “Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang". Dapatkah kita mendenisikan/membangun suatu peubah acak?

Bagaimana jika informasi yang kita miliki adalah “Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?".Dapatkah kita mendenisikan/membangun suatu peubah acak?

1.2 Peluang Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wujudnya adalah angka diantara nol dan satu). Peluang berkaitan dengan menyatakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita untuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang memiliki peluang kecil).

Contoh-1: Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuk setiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkuliahan tersebut). Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuah perkuliahan benar-benar tidak terjadi? Contoh-2: Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah. Katanya \Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku". Adakah sosok seperti Tiani?

Contoh-3: Arya telah memesan sekaligus membayar tiket suatu penerbangan. Tentu saja Arya yakin bahwa dia akan mendapatkan kursi saat datang dan memasuki pesawat nanti. Mungkinkah Arya tidak mendapatkan kursi? Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitung peluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian atau (dan ini yang utama) peluang suatu peubah acak.

Contoh-4: Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memi- liki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki? Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran?