METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant PERSAMAAN NON LINEAR METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant

Metode Newton Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’

Metode Newton Raphson Xn+1 = xn - menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) terlebih dahulu kemudian ditentukan xi+1 sebagai titik potong antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f di titik (xi ,f(xi)) Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan: Xn+1 = xn -

Algoritma Metode Newton Raphson Definisikan fungsi f(x) dan f’(x) Tentukan toleransi error () dan iterasi maksimum (n) Tentukan nilai pendekatan awal x0 Hitung f(x0) dan f’(x0) Untuk iterasi i = 0 s/d n atau |f(xi)|>  Hitung xi+1 , f(xi+1) dan f’(xi+1) Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) <  Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

Contoh Carilah akar positif dari fungsi f(x) = x2–5, dengan nilai tebakan awal x=1 JAWAB f(x) = x2–5 f’(x) = 2x x0 = 1 f(1) = -4 f’(1) = 2 n = 7 e = 0.0000001 x1 = 1 – (-4/2)  3 f(x1) = f(3) = 32 – 5  4 f’(x1) = f’(3) = 2*3  6

Contoh JAWAB x2 = 3 – (4/6)  2,333333 f(x2) = f(2,333333) = 2*3333332 – 5  0,444444 f’(x2) = f’(2,333333) = 2*2,333333  4.666667 dst

Contoh Pada i = 6, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) <  Diperoleh x = 2,236067977

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada turunan Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit.

Metode Secant Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan Metode Secant

Algoritma Metode Secant : Definisikan fungsi f(x) Definisikan torelansi error () dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu xi-1 (x0) dan xi (x1) sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan Hitung f(xi-1)  f(x0) dan f(xi)  f (x1) Untuk iterasi i = 1 s/d n Hitung xi+1 dan f(xi+1) Iterasi berhenti jika panjang selang baru (| xi+1 - xi|) <  Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh

Contoh Carilah akar dari fungsi f(x) = 2x^3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan  = 0.0000001

Contoh - Penyelesaian f(x) = 2x3 - x -1, dengan nilai awal xi = 4, dan xi-1 = 2 dan  = 0.0000001 xi-1 = 2  x0 = 2 f(xi-1) = f(x0) = 2*23-2-1  13 xi = 4  x1 = 4 f(xi) = f(x1) = 2*43-4-1  123

Contoh - Penyelesaian dst xi-1 = 2  x0 = 2 xi = 4  x1 = 4 f(xi-1) = f(x0) = 2*23-2-1  13 xi = 4  x1 = 4 f(xi) = f(x1) = 2*43-4-1  123 x2 = x1 – (f(x1)(x1 – x0))/(f(x1) – f(x0)) = 4 – (123*(4-2))/(123-13)  1,7636363 f(xi+1) = f(x2) = 2* 1,76363633-1,7636363-1 8,207639 dst

Contoh - Penyelesaian Pada i = 11, iterasi berhenti karena panjang selang baru (|xi+1 – xi|) <  ; diperoleh x = 1

TUGAS Carilah akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 dengan  = 0,000001 dengan metode Newton Raphson dan Secant! Jawaban ditulis dengan pengolah kata dengan format nama file UW-METNUM-T02.doc Kirim jawaban ke dianpraja@gmail.com dengan subject: [UW-METNUM-T02.doc]