(Fundamental of Control System) DASAR SISTEM KONTROL (Fundamental of Control System) Tim Penyusun: Ir. Porman Pangaribuan, M.T. Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T. Agung Surya Wibowo, M.T. Cahyantari Ekaputri, M.T. Program Studi S1 Teknik Elektro

PEMODELAN SISTEM KONTROL Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Learning Outcome Mahasiswa mampu memahami sistem yang dimodelkan dalam bentuk diagram blok dan fungsi alih; model ruang keadaan; model grafik aliran sinyal Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

FUNGSI ALIH (TRANSFER FUNCTION) Fungsi alih adalah perbandingan transformasi laplace keluaran dengan transformasi laplace masukan dengan menganggap semua kondisi awal nol. Contoh : carilah fungsi alih sebuah sistem yang dinyatakan oleh persamaan diferensial berikut: 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 +2𝑦= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 +2𝑥 ; x = input sistem , y = output sistem Jawab: Dengan menerapkan transformasi laplace (Kondisi awal nol) diperoleh: 𝑠2𝑌 𝑠 +3𝑠𝑌 𝑠 +2𝑌 𝑠 =𝑠𝑋 𝑠 +2𝑋(𝑠) Maka fungsi alihnya : 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 𝑠+2 𝑠2+3𝑠+2 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 FUNGSI ALIH (2) Sebuah sistem kontrol lup tertutup yang sederhana dinyatakan oleh diagram blok (bentuk kanonik sederhana) berikut: Dari gambar dapat dilihat/ diturunkan : C(s) =G(s).E(s) sementara E(s) = R(s)-B(s) sedangkan B(s) = H(s).C(s) Dengan demikian C(s)=G(s){R(s)-H(s)C(s)} atau C(s)+G(s)H(s)C(s)=G(s)R(s) Atau C(s){1+G(s)H(s)}= G(s)R(s). Maka Fungsi alih sistem tersebut adalah 𝐶 𝑠 𝑅 𝑠 = 𝐺 𝑠 1+𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Beberapa Aturan Penyederhanaan Diagram Blok Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Transformasi Diagram Blok (cont’d) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Contoh Reduksi Diagram Blok (1) Sederhanakan diagram blok berikut & cari fungsi alihnya! Soal ini akan dibahas di forum /diskusi Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Contoh Reduksi Diagram Blok (2) Sederhanakan diagram blok berikut & cari fungsi alihnya! Blok diagram hasil reduksi: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Contoh Transformasi Diagram Blok (3) Tentukan model dinamis sistem berikut! Transformasikan model tsb ke bentuk Laplace & buat diagram blok sistem tsb! (analogi rangkaian listrik: kapasitansi tangki penyimpanan air (𝐶); keran air (𝑅); debit air, 𝑞, (𝑖); dan level/tinggi air, ℎ, (𝑉)). Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Grafik Aliran Sinyal (GAS) Grafik Aliran Sinyal (GAS) menggambarkan hubungan variabel-variabel sistem secara sederhana (S. J. Mason). Tiap simpul/node merepresentasikan variabel sistem, dan tiap percabangan/branch menghubungkan 2 simpul sbg penguatan sinyal/gain. GAS lebih praktis untuk sistem yang rumit/kompleks. Contoh : 𝑥2=𝑎𝑥1 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 CONTOH G.A.S. Bentuk GAS nya Bentuk GAS nya Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Formula Mason untuk GAS GAS mengandung informasi yang sama dg diagram blok. GAS memudahkan penentuan fungsi alih melalui formula penguatan Mason, tanpa perlu melakukan reduksi diagram blok secara bertahap. Formula Penguatan Mason: Dimana: P(s) : Fungsi alih sistem 𝑷𝒌 : penguatan lintasan maju kek. ∆ : determinan grafik = 𝑳𝟏 : Jumlah penguatan setiap loop (tertutup) 𝑳𝟐 : Jumlah perkalian dari semua kombinasi penguatan 2 loop yang tak bersentuhan satu sama lain (tak memiliki node bersama). 𝑳𝟑 : Jumlah perkalian dari semua kombinasi penguatan 3 loop yang tak bersentuhan satu sama lain. 𝑳𝑴 : Jumlah perkalian dari semua kombinasi penguatan M buah loop yang tak bersentuhan satu sama lain. ∆𝒌 : nilai ∆ bila bagian grafik tidak menyentuh lintasan maju kek, atau nilai ∆ sisa jika lintasan yang menghasilkan 𝑷𝒌 dihilangkan. P(s) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh GAS (1) Contoh GAS pd sistem kontrol robot kaki banyak/multilegged robot dengan beberapa penguatan sinyal maju. (1) Penguatan sinyal maju: Path 1: 𝑃1=𝐺1𝐺2𝐺3𝐺4 Path 2: 𝑃2=𝐺5𝐺6𝐺7𝐺8 (2) Determinan 𝐿1=𝐺2𝐻2 𝐿3=𝐺6𝐻6 Lup tertutup: 𝐿2=𝐺3𝐻3 𝐿4=𝐺7𝐻7 Jadi determinan ∆=𝟏− 𝑳𝟏+ 𝑳𝟐 (3) Kofaktor determinan, menghilangkan lup yg menyentuh tiap path dari determinannya: Kofaktor path-1 ∆𝟏=𝟏−(𝑳𝟑+𝑳𝟒) Kofaktor path-2 ∆𝟐=𝟏−(𝑳𝟏+𝑳𝟐) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh GAS (1) (cont’d) Jadi untuk gambar GAS di atas diperoleh Fungsi Alih: P(s) Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh GAS (2) Tentukan fungsi alih dari sistem berikut menggunakan formula Mason! Jawab : Diagram blok diubah menjadi bentuk Grafik Aliran Sinyal/GAS Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh GAS (2) Path: 𝑃1=𝐺1𝐺2𝐺3 (1) Penguatan sinyal maju: (2) Determinan: 𝐿1=𝐺1𝐺2𝐻1 𝐿2=−𝐺2𝐺3𝐻2 𝐿3=−𝐺1𝐺2𝐺3 (a). 𝑳𝟏=𝑳𝟏+𝑳𝟐+𝑳𝟑 Lup tertutup: (b). 𝑳𝟐=𝟎 (3) Kofaktor determinan, menghilangkan lup yg menyentuh tiap path dari determinannya: Jadi determinannya: ∆=𝟏− 𝑳𝟏 Kofaktor path: ∆𝟏=𝟏 L1 L2 L3 GAS: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh GAS (2) (cont’d) GAS: L2 L1 L3 Jadi fungsi alihnya: P(s)= Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

RUANG KEADAAN (STATE SPACE) 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒/keadaan : Set dari variabel terkecil saat diberikan kondisi awal 𝑡0 dan input untuk 𝑡≥ 𝑡0, secara lengkap dapat menentukan karakteristik sistem untuk 𝑡≥𝑡0. Persamaan ruang keadaan secara umum: 𝑥 𝑡 =𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡 ,𝑡  persamaan keadaan 𝑦 𝑡 =𝑔 𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡 ,𝑡  persamaan keluaran Untuk sistem linier invarian waktu: 𝐱 𝑡 =𝐀𝐱 𝑡 +𝐁𝑢 𝑡  persamaan keadaan 𝑦 𝑡 =𝐂𝐱 𝑡 +𝐃𝑢 𝑡  persamaan keluaran Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

BLOK DIAGRAM RUANG KEADAAN Dalam bentuk diagram Blok linear state space digambarkan sebagai berikut : Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Contoh State Space Diberikan sistem mekanik sbg berikut: Persamaan keadaan: Persamaan dinamik sistem: 𝑚 𝑦 +𝑏 𝑦 +𝑘𝑦=𝑢 Tentukan variabel keadaan, lihat orde sistem 𝑥1 𝑡 =𝑦 𝑡 𝑥2 𝑡 = 𝑦 𝑡 Diperoleh: Dalam bentuk vektor-matriks: Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Contoh State Space (cont’d) Diberikan sistem mekanik sbg berikut: Persamaan keluaran: 𝑦=𝑥1 Dalam bentuk vektor-matriks: Jadi dalam bentuk standar 𝐱 𝑡 =𝐀𝐱 𝑡 +𝐁𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 =𝐂𝐱 𝑡 +𝐃𝑢 𝑡 Diperoleh : Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Hubungan Fungsi Alih dan State Space Perhatikan kembali gambar diagram state space sebelumnya ! Fungsi Alihnya adalah : 𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) Persamaan state space: 𝐱 𝑡 =𝐀𝐱 𝑡 +𝐁𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 =𝐂𝐱 𝑡 +𝐃𝑢 𝑡 Dari persamaan di atas ditransformasikan ke bentuk Laplace: 𝑠𝐗 𝑠 −𝑥(0)=𝐀𝐗 𝑠 +𝐁𝑈 𝑠 Y 𝑠 =𝐂𝐗 𝑠 +𝐃𝑈 𝑠 Untuk fungsi alih, keadaan awal nol 𝑥 0 =0, shg: 𝐗 𝑠 = 𝑠𝐈−𝐀 −1 𝑈 𝑠 𝑌 𝑠 = (𝐂 𝑠𝐈−𝐀 −1 𝐁+𝐃)𝑈 𝑠 Jadi fungsi alih: 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) =𝐺 𝑠 = 𝐂 𝑠𝐈−𝐀 −1 𝐁+𝐃 Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3

Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3 Terima Kasih  Dasar Sistem Kontrol - ELG2C3