Core Teknik Informatika Kode MK/SKS : TIF 010202/2 ALJABAR LINIER & VEKTOR Core Teknik Informatika Kode MK/SKS : TIF 010202/2 Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor PERTEMUAN 14 & 15 Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Sasaran Pembelajaran Setelah mempelajari modul ini, pemelajar diharapkam memahami operasi pada vektor baik secara aljabar maupun geometri. Setelah mengikuti modul ini, diharapakan kamu memahami vektor pada bidang dan ruang, dapat melakukan operasi vektor baik secara geometris maupun aljabar.   Elemen matematika yang menjadi bahan pembicaraan pada topik adalah vektor, yang banyak penerapannya di bidang fisika. Konsep vektor ini menjadi dasar untuk pembahasan vektor secara Umum pada bab-bab selanjutnya. Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Definisi: vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Luas Panjang Massa Suhu Gaya Kecepatan Percepatan Perubahan Letak Banyak besaran fisik, seperti luas, panjang, massa,dan suhu dideskripsikan dengan ‘besar’ (magnitude) saja. Besaran lain, seperti kecepatan, gaya, perubahan letak, selain besar juga mempunyai arah. Besaran-besaran ini disebut vektor. [Gambarkan angin/ kapal/ arus ke suatu arah, kmd gambarkan anak panah. Kmd gerakan makin cepat, gambarkan dengan panah yang lebih panjang] [Bawahnya: munculkan luas, panjang, massa, suhu [(dikelompokkan) kmd dituliskan ]“skalar” [Disampingnya:] gaya, kecepatan, percepatan, perubahan letak [(kelompokkan, kmd tulis vektor).] Skalar Vektor Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Jenis-jenis vektor Vektor Fisik v Vektor Aljabar v = (a, b) Vektor Geometri Jenis-jenis vektor(fisik, geom, aljabar) Untuk mempermudah pembicaraan, vektor kita kelompokkan menjadi tiga jenis: 1. vektor fisik, 2. vektor geometri, dan 3. vektor aljabar.   Vektor fisik adalah besaran fisik yang mempunyai besar dan arah, misalnya gaya, percepatan, kecepatan, berat, dsb. Secara visual vektor fisik digambarkan sebagai segmen garis berarah. Segmen garis berarah ini yang disebut vektor geometris. Setiap vektor geometris dapat disajikan sebagai pasangan berurutan bilangn nyata, penyajian ini disebut vektor aljabar. [gambarkan orang mendorong kotak ke atas lewat bidang miring, Kmd gambarkan anak panah dari pusat kotak ke atas searah bidang Translasikan anak panah ke bawah, (dengan anak panah mula2 tetap). Gambarkan sistem koordinat sedemikian hingga titik awal vektor ada di titik pangkal Tulis koordinat titik ujungnya (a, b) dalam bentuk baris dan kolom (a, b) b v a Aljabar Linier dan Vektor

Penyajian vektor geometri = a y B AB A A x AB z Penyajian vektor geometri Vektor geometri disajikan sebagai segmen garis berarah / anak panah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor ditulis dengan huruf tebal atau dengan huruf biasa tanda panah di atasnya.   Untuk mempermudah pembahasan, vektor geometri digambar dalam sistem koordinat. B Notasi vektor: Vektor ditulis dengan huruf tebal atau miring dengan anak panah di atasnya, untuk membedakan dengan skalar: AB = a = a Aljabar Linier dan Vektor

Penyajian vektor aljabar Q(7, 3) 5 dan 1 adalah komponen dari v P(5, 1) v x Penyajian vektor secara aljabar Setiap vektor geometris dapat disajikan sebagai pasangan berurutan bilangn nyata, penyajian ini disebut vektor aljabar. Untuk menyajikan vektor tersebut secara aljabar, maka vektor ditranslasi sehingga titik awalnya berada di titik pangkal. Koordinat titik akhirnya (x, y) merupakan penyajian aljabar dari vektor. Penyajian titik dan penyajian vektor dalam hal ini serupa. Ordinat dan absis dari titik tersebut merupakan komponen-komponen vektor.   v1 v2 v = (v1, v2) = komponen dari v. v2 v1 Aljabar Linier dan Vektor

Menentukan komponen vektor y v B(c, d) v = (c-a, d-b) A(a, b) P(c-a, d-b) x z x y Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secara aljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b B(d, e, f) f-c Penyajian vektor aljabar Vektor dalam bidang mempunyai dua komponen, yaitu komponen x dan komponen y. Komponen-x adalah absis dari titik akhir vektor yang titik awalnya di titik pangkal. Komponen-y nya merupakan ordinatnya. Untuk vektor pada ruang, selain komponen x dan komponen y, terdapat komponen z. A(a, b, c) e-b d-a Komponen vektor: a-d, e-b, f-c Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Kesamaan vektor a c y b Kesamaan vektor Berat sebuah benda tidak berubah ketika diletakkan di atas meja, di atas lantai atau di atas kepala. Artinya, arah dan besar vektor fisk tidak tergantung pada posisinya. Karena vektor geometri menyajikan vektor fisik, maka kesamaan vektor geometri didefinisikan sbb: setiap vektor geometri yang mempunyai besar dan arah sama (tidak peduli titik awal dan akhirnya) maka dikatakan vektor tersebut sama. Hal ini konsisten dengan kesamaan vektor aljabar. Dua vektor aljabar dikatakan sama jika dan hanya jika setiap komponen yang bersesuaian sama. x a, b, c a = b = c Besar vektor tidak tergantung posisi Aljabar Linier dan Vektor

Kesamaan dua vektor fisik a = (0, y) c = ( 0, y) b = ( 0, y) Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar. a = b = c Berat benda tetap meskipun posisinya berubah. Aljabar Linier dan Vektor

Kesamaan dua vektor geometri Dua vektor sama jika dan hanya jika panjang dan arahnya sama, tidak tergantung posisinya pada sistem koordinat. Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar. Aljabar Linier dan Vektor

Kesamaan dua vektor aljabar Dua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama. a1 a2 b1 b2 = Jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2 a1 a2 a3 b1 b2 b3 Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3 = Kemudian tunjukkan bahwa hal ini konsisten dengan vektor aljabar. Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Penjumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor fisik: F2 F1 F3 F2 Jumlahan vektor Jika ada dua gaya F1 dan F2 ditambahkan, maka efeknya akan sama dengan menerapkan resultante gaya tersebut. Sebagai contoh, sebuah benda di lantai yang licin didorong oleh dua orang dengan kekuatan berbeda dan arah dorongan berbeda, maka benda akan meluncur searah resultante dua gaya doron orang tersebut.   Menjumlahkan dua vektor geometri a dan b dapat dilakukan sbb: Translasi a sedemikian hingga titik akhirnya berimpit dengan titik pangkal b. Jumlahan a dan b adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah titik pangkal a dan titik akhirnya adalah titik akhir b. hasilnya konsisten dengan jumlahan vektor aljabar yang sesuai. Jumlahan dua vektor pada bidang menghasilkan vektor pada bidang. Jumlahan dua vektor pada ruang menghasilkan vektor pada ruang. Jumlahan vektor pada R2 dan R3 bersifat tertutup. Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri? [Menjumlahkan dua vektor fisk: Dua gaya dijumlahkan, efeknya sama dengan menerapkan resultanenya. Gambarkan: dua vektor F1 dan F2 dijumlahkan F1 F3 = F1 + F2 Jika dua gaya dijumlahkan, maka efeknya sama dengan menerapkan resultantenya. Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Penjumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor geometri: y y b a+b a Menjumlahkan dua vektor geometri:   Prosedur: Menjumlahkan a dan b. Translasi a sedemikian hingga titik akhirnya berimpit dengan titik pangkal b. Jumlahan a dan b adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah titik pangkal a dan titik akhirnya adalah titik akhir b. Pertegas hasil dari prosedur di atas dengan jumlahan vektor aljabar berikut Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2).] Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Penjumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor aljabar Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2) Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri? y a A(a1, a2) a = (a1, a2) x y b B(b1, b2) b = (b1, b2) x a+b a+b = (a1+b1, a2+b2) y x C(a1+b1, a2+b2) Menjumlahkan dua vektor aljabar adalah menjumlahkan komponen-komponen yang sesuai. Hal ini konsisten dengan Penjumlahan secara geometris. Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Latihan 1. u v Manakah vektor yang merupakan u+v ? a b c d Jawab: a Jawablah soal-soal berikut ini untuk menguji pemahamanmu. v a u Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Latihan 2. a b Manakah vektor yang merupakan a+b ? g d e f Jawab: e a b e Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Latihan u = (5, 6) dan v = (3, 2) Apakah vektor yang merupakan hasil dari u+v? a = (2, 4) b = (8, 8) c = (15, 12) d = (8, 4) 4. u = (5, 6) dan v = (3, 2) Apakah vektor yang merupakan hasil dari u - v? Jawab: b Jawab: a Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Pengurangan Tentukan a – b dan b-a a b -b -a a -b a-b a -b a-b b b -a b-a a b -a b-a Berikut ini akan diperlihatkan bahwa pengurangan vektor dapat dilakukan dengan mudah. Tentukan a – b dan b-a [Gambarkan dua vektor a dan b dengan titik pangkal sama. Gambarkan –b, lakukan peosedur penjumlahan a + -b spt pada penjumlahan dua vektor. Tentukan hasilnya. Perlihatkan bahwa hasilnya sama persisi dengan vektor yang titik awalnya di titik akhir b dan titik akhirnya di titik akhir a. Perlihatkan bagaimana mudahnya mengurangkan dua vektor. Dengan cara serupa, tentukan b-a. Tekankan bahwa mengurangkan bisa langsung. Diberikan u dan v, u-v langsung: vektor dengan titik awal di titik akhir v dan titik akhir di titik akhir u.gambarkan u v u-v u v v-u u v Aljabar Linier dan Vektor

Hubungan tiga vektor pada bidang Diberikan a, b, c c c b a a b Jika diberikan sembarang 3 vektor pada bidang, maka yang satu dapat diperoleh dari dua yang lain, dengan menerapkan jumlahan dan perkalian skalar. Diberikan vektor a, b dan c. Kita akan menunjukkan bahwa c = ka + lb untuk suatu skalar k dan l. Hal serupa berlaku pada vektor-vektor pada ruang. Jika diberikan sembarang 4 vektor pada ruang, maka yang satu dapat diperoleh dari tiga yang lain, dengan menerapkan jumlahan dan perkalian skalar. Diberikan vektor a, b dan c. Kita akan menunjukkan bahwa c = ka + lb untuk suatu skalar k dan l. [Gambarkan 3 vektor a, b, c pada bidang, tanpa sistem koordinatm dan titik awalnya tidak berimpit. Translasikan sedemikian hingga titik awalnya berimpit, (c berada diantara a dan b). Buat garis-garis dari ujung c sejajar dengan a dan b. Perpanjanglah a atau b jika perlu. Terbentuk dua vektor baru: ka dan lb ka adalah vektor yang titik ujungnya di perpotongan garis sejajar dengan vektor a atau perpanjangannya, dmkn juga lb (serupa). Tuliskan: c = ka + lb c b a ka lb c lb ka c = ka + lb Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Basis standar bidang R2 Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier v = v1i + v2j y x j=(0, 1) i=(1, 0) v=(v1, v2) v = (v1 v2) Vektor basis di R2 Pada bidang R2 terdapat basis standard, yaitu { i, j} dengan i = (1, 0) dan j = (0, 1). Dikatakan sebagai vektor-vektor basis sebab setiap vektor (a, b) dapat disajikan secara tunggal sebagai kombinasi linier ai + bj. [Gambarkan dalam sistem koordinat kedua vektor 3.52 5.12 0.24dan vektor v, tunjukkan v adalah kombinasi linier I dan j] v2j v1i v = v1i + v2j Aljabar Linier dan Vektor

Aljabar Linier dan Vektor Basis standar R3 Basis standard bidang R3 adalah: {i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)} Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck y z x P(a, b, c) k i j P(ai, bj, ck) Vektor basis di R3 Pada ruang R3 basis standard, yaitu { i, j, k} , setiap vektor (a, b, c) dapat disajikan secra tunggal sebagai kombinasi linier i, j dan k. [Gambarkan dalam sistem koordinat ketiga vektor dan vektor (a, b, c) tunjukkan v adalah kombinasi linier i, j, k] Aljabar Linier dan Vektor