PENUGASAN Hitung x, jika: x = 3log 27 – 5log 25 2log 4x – 2log 4 = 2 Sebuah pabrik biskuit mulai berproduksi pada Januari 2005 dengan memproduksi 2 jenis produk, yaitu produk I dan produk II. Pabrik tersebut mentargetkan bahwa pada suatu saat kedua produk tersebut dapat diproduksi dalam jumlah yang sama meskipun pertumbuhan produknya berbeda. Pada Januari 2005 produk I diproduksi sebanyak 12 juta kaleng dengan pertumbuhan dua kali lipat , sedangkan produk II diproduksi sebanyak 375 ribu kaleng dengan pertumbuhan 4 kali lipat. Tentukan bulan dan tahun berapa ketika produk tersebut diproduksi dengan jumlah yang sama! Hitunglah jumlah produksi yang sama tersebut!

Jawab: a. x = 3log 27 – 5log 25 = 3log 33 – 5log 52 = 3 – 2 = 1 2log 4x – 2log 4 = 2 2log (4x/4) = 2log 22 2log x = 2log 22 → x = 4

2. a. Deret I : a = 12 juta; p = 2; Sn = apn–1→Sn = 12 juta (2)n–1 Deret II: a = 375 ribu; p = 4; Sn= apn–1→ Sn = 375 ribu (4)n–1 Sn deret I = Sn deret II 12 juta (2)n–1 = 375 ribu (4)n–1 32 = (2)n–1 → (2)5 = (2)n–1 → n = 6 b. Deret I: Sn = 12 juta (2)n–1 → S6 = 12 juta (2)5 = 384 juta Sn = 375 ribu (4)n–1 → S6 = 375 ribu (4)5 = 384 juta

Fungsi MATEMATIKA EKONOMI

Materi yang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear - Penggal - Simetri - Perpanjangan - Asimtot - Faktorisasi

Definisi Fungsi : suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub. fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain. y = a + bx Independent variable Koefisien var. x Konstanta Dependent variable

Fungsi non-aljabar (transenden) Jenis-jenis fungsi Fungsi F.Pangkat F. Polinom F. Linier F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat Fungsi rasional Fungsi irrasional Fungsi non-aljabar (transenden) Fungsi aljabar F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik

Jenis-jenis fungsi Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu). y = a0 + a1x a1 ≠ 0

Jenis-jenis fungsi Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0 Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata). y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn an ≠ 0

Jenis-jenis fungsi Fungsi Pangkat : fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = xn n = bilangan nyata bukan nol. Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. y = nx n > 0

Jenis-jenis fungsi Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. y = nlog x  ny = x Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik. persamaan trigonometrik y = sin x persamaan hiperbolik y = arc cos x

FUNGSI PERSAMAAN Polinom y = a0x0 + a1x1 + a2x2 + ........ +anxn; dimana an ≠ 0 Linear y = a0 + a1x; dimana a1≠ 0 Kuadrat y = a0 + a1x + a2x2; dimana a2 ≠ 0 Kubik y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3; dimana a3 ≠ 0 Bikuadrat y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4; dimana a4 ≠ 0 Pangkat y = xn; dimana n = bilangan nyata bukan nol Eksponensial y = nx; dimana n > 0 Logaritmik y = nlog x  ny = x Trigonometrik y = sin 5x Hiperbolik y = arc cos 2x y = variabel tergantung/dependent; endogen x = variabel bebas/independent; exogen

Jenis-jenis fungsi Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya : fungsi eksplisit dan implisit

Jenis-jenis fungsi Kuadratik Linear y y = a0 + a1x + a2x2 y = a0 + a1x Kemiringan = a1 (a) (b) Kuadratik y = a0 + a1x + a2x2 (Kasus a2 < 0)

Jenis-jenis fungsi x y (c) (d) Kubik a0 Bujur sangkar hiperbolik Kubik y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 a0 Bujur sangkar hiperbolik y = a / x = ax-1 (a > 0)

Jenis-jenis fungsi y Logaritma y = logb x  by =x Eksponen y = bx Eksponen y = bx (b > 1) Logaritma y = logb x  by =x

Penyimpangan Eksponen (Review) xn = x x x x…..x x Aturan I : xm x xn = xm+n Contoh : x3 x x4 = x7 Aturan II : xm / xn = xm-n Contoh : x4 / x3 = x Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0) n suku

Penyimpangan Eksponen © Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0) Aturan V : x1/n = Aturan VI : (xm)n = xmn Aturan VII : xm x ym = (xy)m

Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas z = g (x, y) z = ax + by z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2 Fungsi g membuat peta dari suatu titik dalam ruang dua dimensi, ke satu titik pada garis ruas (titik dalam ruang satu dimensi), seperti : dari titik (x1,y1) ke titik z1 dari titik (x2, y2) ke titik z2 z = variabel tergantung/dependent x, y = variabel bebas/independent.

Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas z z1 z2 (x2, y2) (x1, y1) g x2 x1 y1 y2 x y

Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas x2 x1 y1 y2 x y z (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) z1

Penggal (titik potong dg sumbu koordinat) Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 (berlaku sebaliknya). Contoh : y = 16 – 8x + x2 penggal pada sumbu x : y = 0  x = 4 penggal pada sumbu y : x = 0  y = 16

Simetri Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi.

Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik : Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik : (x, -y) sehubungan dengan sumbu x (-x, y) sehubungan dengan sumbu y (-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal

Simetri y x (x,y) (x,-y) (-x,y) (-x,-y) Kurva dari suatu persamaan f (x, y) = 0 adalah simetrik terhadap : Sumbu x jika ↔ f(x, y) = f(x, -y) = 0 Sumbu y jika ↔ f(x, y) = f(-x, y) = 0 Titik pangkal jika ↔ f(x, y) = f(-x, -y) = 0

Sebuah kurva memiliki kemungkinan: Simetri thd kedua sumbu x dan sumbu y, dan (akan simetri) thd titik pangkal. Simetri thd titik pangkal, belum tentu simetri thd salah satu atau kedua sumbu x dan y. Tidak simetri kepada sumbu x, sumbu y dan titik pangkal. Tidak mungkin simetri hanya kepada dua hal saja.

Selidiki kesimetrian fungsi berikut: 1. f(x,y) = x2 + y2 – 5 = 0 2. f(x,y) = x4 + x2y + 3y – 7 = 0 3. f(x,y) = 3x2 + 4x + 5y = 0

f(-x,y) = (-x)2 + y2 – 5 = x2 + y2 – 5 = 0  simetri thd sumbu y Selidiki kesimetrian kurva: f(x,y) = x2 + y2 – 5 = 0 f(-x,y) = (-x)2 + y2 – 5 = x2 + y2 – 5 = 0  simetri thd sumbu y f(x,-y) = x2 + (-y)2 – 5 = x2 + y2 – 5 = 0  simetri thd sumbu x f(-x,-y) = (-x)2+(-y)2 – 5 =x2+y2 – 5 = 0  simetri thd ttk pangkal f(x,y) = x4 + x2y + 3y – 7 = 0 f(-x,y)= (-x)4+(-x)2y+3y – 7 =x4+x2y+3y – 7 =0  simetri sb y f(x,-y)=x4+x2(-y)+3(-y) –7=x4–x2y–3y–7 =0  tdk simetri sb x f(-x,-y)=(-x)4+(-x)2(-y)+3(-y)–7= x4+x2y–3y–7 =0 tdk sim ttk pkl 3. f(x,y) = 3x2 + 4x + 5y = 0 f(-x,y)=3(-x)2+4(-x)+5y=3x2 – 4x+5y=0tdk simetri thd sb y f(x,-y)=3x2+4x+5(-y)= 3x2+4x – 5y=0  tdk simetri thd sb x f(-x,-y)=3(-x)2+4(-x)+5(-y)= –3x2–4x–5y=0 tdk sim thd ttk pkl

Perpanjangan Konsep perpanjangan  menjelaskan apakah ujung-ujung sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak terdapat batas perpanjangan) ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau y tertentu. Coba selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yan dicerminkan oleh persamaan : x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 0

x2 – y2 – 25 = 0 → y2 = x2 – 25 x2 = y2 + 25 1. Berapapun nilai y, nilai x selalu bilangan nyata. Berarti perpanjangan searah sumbu y tidak terbatas (tidak terdapat batas perpanjangan kurva untuk variabel x searah sb y). 2. Jika |x| < 5 maka y bilangan khayal (tidak nyata). Berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x = ± 5  x < -5 atau x > 5 (terdapat batas perpanjangan untuk variabel y searah sumbu x). Selidiki batas perpanjangan x2 + y2 – 25 = 0

Penyelesaian untuk y: y = ± V25 – x2 Jika |x| > 5 maka y bilangan khayal (tidak nyata). Berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai – 5 ≤ x ≤ 5. 2. Penyelesaian untuk x: x = ± V25 – y2 Jika |y| > 5 maka x bilangan khayal (tidak nyata). Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y terbatas hanya sampai – 5 ≤ y ≤ 5. x2 + y2 – 25 = 0 

Asimtot Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut. Jarak tersebut tidak akan menjadi nol. Tidak akan terjadi perpotongan antara garis lurus dan kurva. Penyelidikan asimtot berguna untuk mengetahui pola kelengkungan kurva yang akan digambarkan

x y y = k x= k y = f(x) y = - a - bx

f(x) →(– a – bx) apabila x, y → ~ y = f(x) y = - a - bx Garis y = – a – bx merupakan asimtot kurva y = f(x) jika f(x) senantiasa lebih besar (atau lebih kecil, dlm kasus lain) dari (– a – bx) dan semakin mendekati (– a – bx) apabila x dan y diperpanjang tanpa batas. f(x) →(– a – bx) apabila x, y → ~

LIMIT: f(x) meningkat tak terhingga apabila nilai x mendekati nilai a f(x) menurun tak terhingga apabila nilai x mendekati nilai a Garis x = 1 asymtot vertikal fungsi Asymtot: Contoh:

x=1 x y

Jika x → 2 maka |f(x)|→~  x = 2 asymtot vertikal Gambarkan fungsi f(x) = x / (x – 2) mempunyai asymtot vertikal dan asymtot horizontal! Jika x → 2 maka |f(x)|→~  x = 2 asymtot vertikal maka y = 1 asymtot horizontal y = 1 x = 2

x y y = k x= k 1. Garis x = k ( k adalah konstanta) merupakan asimtot vertikal dari kurva y = f(x) jika y→~ maka x→k dan x<k atau x>k untuk setiap nilai x. Garis y = k (k adalah konstanta) merupakan asimtot horizontal dari kurva y=f(x) jika x→~ maka y→k dan y<k atau y>k untuk setiap nilai y.

Apakah kurva berikut punya asymtot vertikal dan atau horizontal? x – 3y +xy – 2 =0 x2 – y – 2 =0

Apakah kurva berikut punya asymtot vertikal dan atau horizontal? x – 3y +xy – 2 =0 Asymtot vertikal: x+xy=3y+2  x = 3y+2 1+y Jika y→ +~ maka x→ 3 dan x < 3 Jika y→ -~ maka x → 3 dan x > 3  maka x = 3 merupakan asymtot vertikal. Asymtot horizontal: y = x – 2 3 – x Jika x→ +~ maka y → – 1 dan y < – 1 Jika x → -~ maka y → – 1 dan y > – 1  maka y = – 1 merupakan asymtot horizontal.

x2 – y – 2 =0 Asymtot vertikal: x = ± Vy+2 jika y→ +~ maka x→ ±~ jika y → – ~ maka x = bilangan khayal  asymtot vertikal tidak ada. Asymtot horizontal: y = x2 – 2 jika x → +~ maka y → +~ jika x → - ~ maka y → +~  asymtot horizontal tidak ada.

Faktorisasi Faktorisasi fungsi adalah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. f(x, y) = g(x, y). h(x, y) Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0

Faktorisasi: metode abc Persamaan Fungsi: ax2 + bx + c = 0 Kalikan a.c = d Cari alternatif perkalian dua angka misalnya “e.f “ sehingga hasil kalinya sama dengan “d” dan jumlahnya sama dengan “b”. (e).(f) = d dan e + f = b Substitusikan “e” dan “f” kedalam persamaan sehingga: ax2 + bx + c = ax2 + (ex +fx) + c = (ax2 + ex) + (fx + c) = 0 Faktorisasi persamaan menjadi: ax2 + bx + c = (x ± g) (x ± h) = 0 5. Hasil akhir: x1 = g dan x2 = h. http://rosihan.web.id

Tentukan nilai x dengan metoda abc dari persamaan: 6x2 + 11x + 4 = 0 Jawab: a = 6; b = 11; c = 4  a.c = (6).(4) = 24 24 Jumlah 1 25 12 2 14 8 3 11 6 4 10 6x2 + 11x + 4 = (6x2 + 3x) + (8x + 4) = 0 3x(2x +1) + 4(2x + 1) = 0 (3x + 4) (2x + 1) = 0  x1 = - 4/3; x2 = - ½

Latihan Gambarkan kurva dari persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 y3 + xy2 – xy – y2 = 0

Gambarkan kurva dari persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 Faktorisasi: (x – y)(2x + y) = 0  Gambar kurva terdiri atas dua garis lurus x – y = 0 dan 2x + y = 0 x – y = 0 2x + y = 0 x y

Gambarkan kurva dari persamaan y3 + xy2 – xy – y2= 0 Faktorisasi: y3 + xy2 – xy – y2 = 0  y2 (y + x) – x(y + x) = 0 (y2 – x)(y + x) = 0 (y2 – x) = 0 (y + x) = 0 y x

Persamaan x3 – y2 = 9 a. Cari penggal ke sumbu x dan y b. Selidiki kesimetrian kurvanya c. Selidiki batas perpanjangan kurvanya 2. Buktikan x4 – 9x2 + y2 = 0 a. Simetri thd titik pangkal b. Tidak mempunyai asymtot vertikal dan horizontal

x3 – y2 = 9 Penggal sumbu x dan sumbu y : Titik potong sumbu x → y = 0→ x3 = 9 → x = Titik potong sumbu y → x = 0→ y = ± 3 Kesimetrian kurva: f(-x,y) = (-x)3 – y2 = – x3 – y2 ≠ f(x,y) = x3 – y2 = 0 → tidak simetri terhadap sumbu y. f(x,-y) = x3 – (-y)2 = x3 – y2 = f(x,y) = 0 → simetri thd sumbu x f(-x,-y) = (-x)3 – (-y)2 = – x3 – y2 ≠ f(x,y) = 0 → tidak simetri thd titik pangkal (0,0). Batas perpanjangan kurva : → perpanjangan searah sb x hanya berlaku utk x3 ≤ 9 → perpanjangan searah sumbu y tidak terbatas.

x4 – 9x2 + y2 = 0 Kesimetrian: f(-x,-y) = (-x)4 – 9 (-x)2 + (y)2 = x4 – 9x + y2 = 0 → simetri terhadap titik pangkal. Asymtot: y2 = – x4 + 9x2 → y2 = x4 – 9x2 = (x2 – 3x) (– x2 – 3x) jika y→ +~ maka x→ +~ jika y → – ~ maka x→– ~  asymtot vertikal tidak ada. jika x → +~ maka y → +~ jika x → - ~ maka y → - ~  asymtot horizontal tidak ada.