NEGASI, KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, DAN BIIMPLIKASI

PENGHUBUNG PERNYATAAN (1) Pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai penghubung disebut pernyataan primer atau atomik. Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dibutuhkan penghubung. Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini disebut pernyataan majemuk (compound statement).

PENGHUBUNG PERNYATAAN (2) Negasi Konjungsi Disjungsi Kondisi (Conditional)/Implikasi Kondisi Ganda (Biconditional)/Biimplikasi

NEGASI (1) Notasi: ¬ atau ~ atau ¯ atau ’ Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan ~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Contoh: P : Hari ini hujan. Q : Hari ini panas. Maka pernyataan NEGASI dari P dan Q adalah ~P: Hari ini tidak hujan. ~Q: Hari ini tidak panas.

NEGASI (2) Tabel Kebenaran

DISJUNGSI (1) Notasi:  atau + atau  Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P  Q bernilai F. Contoh: P: Hari ini hujan. Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P  Q: Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam rumah ini.

DISJUNGSI (3) Sifat simetri: P  Q = Q  P. Tabel Kebenaran:

DISJUNGSI (2) Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi ke lapangan pertandingan. “atau” dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q). Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau dengan pengabelannya. “atau” dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, atau Q atau P dan Q). “atau” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu. “atau” tidak ditujukan dalam arti Penghubung yang dimaksudkan tetapi mengenai jumlah orang dalam kejadian itu.

KONJUNGSI (1) Notasi: , . , , atau  Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P  Q bernilai F. Contoh: P: Hari ini hujan. Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P  Q: Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam rumah ini.

KONJUNGSI (3) Sifat simetri: P  Q = Q  P. Tabel Kebenaran:

KONJUNGSI (2) Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam. “dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Prinsip simetri berlaku. PQ = QP Inem membuka pintu dan berjalan masuk. “dan” berarti “kemudian” karena “berjalan masuk” terjadi setelah “Inem membuka pintu”  tidak dapat diterjemahkan dengan . Prinsip simetri tidak berlaku. PQ  QP Inem dan Ponim bersaudara. “dan” bukan penghubung, karena hanya satu kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan dengan AND. Bila dipecah, akan menjadi kalimat berita tidak lengkap. “Inem bersaudara”. Kalimat menjadi tidak lengkap karena bersaudara dengan siapa?.

IMPLIKASI (1) Notasi:  Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka implikasi pernyataan P  Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P disebut proposisi antecedent/premis/kondisi dan Q adalah consequent/konklusi. Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam arti bahwa PQ tidak sama dengan QP.

IMPLIKASI (4) Tabel Kebenaran:

IMPLIKASI (3) Contoh: P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4. PQ : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4. Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris.” J: William mengambil Kalkulus. K: Harry mengambil Sosiologi. L: Charles mengambil Bahasa Inggris. Hasilnya adalah: (J  K)  L

IMPLIKASI (2) Implikasi p  q memainkan peranan penting dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan standard “jika p, maka q” tetapi juga dapat diekspresikan dalam berbagai cara, antara lain: Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q q jika p p hanya jika q p syarat cukup agar q q syarat perlu bagi p q bilamana p

IMPLIKASI (5) Ubah Proposisi-proposisi implikasi berikut ini ke dalam bentuk proposisi “jika p, maka q ” : Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

BIIMPLIKASI (1) Notasi:  Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka biimplikasi pernyataan P  Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. PQ mempunyai sifat simetri yaitu: PQ = QP.

BIIMPLIKASI (3) Tabel Kebenaran:

BIIMPLIKASI (2) Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional p  q dalam kata-kata, yaitu: p jika dan hanya jika q. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Jika p maka q, dan sebaliknya.

BIIMPLIKASI (4) Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi: 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.

BIIMPLIKASI (5) Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”: Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas. Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan. Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan. Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya.