Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada LIMIT DAN KONTINUITAS Salmah Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada

ISI PEMBAHASAN LIMIT FUNGSI LIMIT BARISAN BILANGAN ALAM KONTINUITAS

Limit fungsi Pandang fungsi Nilai fungsi f(x) untuk x mendekati 2 adalah x f(x) 1,95 1,99 2,01 2,05 2,9 2,98 3,02 3,1

Limit fungsi Dari tabel terlihat bahwa f(x) akan mendekati nilai 3 untuk x mendekati 1. Ditulis

Definisi Limit fungsi Definisi: Nilai limit jika untuk setiap nilai x mendekati a (tetapi tidak sama dengan a) , harga f(x) sama dengan L Nilia limit jika untuk setiap bilangan positif kecil dapat ditemukan bilangan positif kecil sehingga untuk setiap x yang memenuhi berlaku

Contoh Limit fungsi Akan ditunjukkan bahwa Berarti didapat Jika diambil Maka berlaku untuk Jadi terbukti bahwa

Contoh Limit fungsi Akan dicari Penyelesaian:

Sifat Limit Limit bernilai tunggal JIka dan Maka K=L

Limit tak hingga Nilai limit untuk x mendekati a bernilai tak hingga, limitnya dikatakan tidak ada atau limit semu. Contoh

Limit menuju tak hingga Akan dicari nilai f(x) menuju ke mana untuk x menuju tak hingga (nilainya dapat tidak ada) Contoh:

Limit kiri dan limit kanan Contoh sebagai motivasi Diberikan Berapa nilai f(x) untuk x mendekati 1?

Limit kiri dan limit kanan Contoh sebagai motivasi Diberikan Nilai tidak ada, tetapi untuk x mendekati 1 dari sebelah kiri (disebut limit kiri f(x)) nilai f(x) dapat ditentukan. Demikian juga untuk x mendekati 1 dari sebelah kanan (disebut limit kanan f(x)) nilai f(x) dapat ditentukan.

Limit kiri dan limit kanan Contoh sebagai motivasi Diberikan Maka

Sifat Nilai ada jika limit kiri f(x) dan limit kanan f(x) untuk x mendekati a ada dan bernilai sama

Contoh limit kiri dan limit kanan Tentukan Penyelesaian: akan diselidiki limit kiri dan limit kanan f(x) untuk x mendekati 0. Untuk x mendekati 0 dari sebelah kanan artinya x positif sehingga sedang Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama berarti tidak ada

Contoh limit kiri dan limit kanan Diberikan Akan dicari Penyelesaian: Karena limit kiri dan limit kanan f(x) ada dan bernilai sama maka ada dan

Contoh limit kiri dan limit kanan Tentukan k agar ada. Jika diberikan Penyelesaian: Agar limit ada maka limit kiri harus sama dengan limit kanan sehingga haruslah atau

Contoh limit kiri dan limit kanan Tentukan k agar ada jika diberikan Penyelesaian: Supaya limit ada maka limit kiri dan limit kanan harus ada dan bernilai sama sehingga haruslah atau

Limit fungsi trigonometri Beberapa rumus

Limit fungsi trigonometri Contoh 1. 2.

Limit barisan Contoh 1. 2.

Limit barisan: bilangan alam e Rumus dasar Salah satu pengembangan rumus dasar tersebut misalnya Bukti: Diambil variabel baru atau Maka untuk berakibat sehingga

Contoh Limit dengan bilangan alam e Hitunglah limit Penyelesaian

Kontinuitas Fungsi f(x) kontinu di titik x=a jika dipenuhi f(a) terdefinisikan (nilainya ada dan berhingga) ada 3.

Contoh Kontinuitas Diberikan Karena f(x) tidak terdefinisikan untuk x=2 Berarti f(x) tidak kontinu di x=2

Contoh Kontinuitas Diberikan Apakah f(x) kontinu di x=2 ? Penyelesaian: f(2)=1 Karena nilai f(2) tidak sama dengan nilai Maka f(x) tidak kontinu di x=2

Contoh Kontinuitas Diberikan Apakah f(x) kontinu di x=2 ? Penyelesaian: f(2)=3 Karena nilai f(2) sama dengan nilai Maka f(x) kontinu di x=2

Contoh Kontinuitas Tentukan nilai c agar f kontinu di x=3 jika diberikan Penyelesaian: Supaya f(x) kontinu di x=3 nilai f(3) harus sama dengan nilai limitnya untuk x mendekati 3

Contoh Kontinuitas Tentukan nilai c agar f kontinu di x=3 jika diberikan Penyelesaian: Haruslah atau atau

Contoh Kontinuitas Tentukan nilai m dan n supaya f(x) kontinu untuk semua nilai x , jika diberikan Penyelesaian: Perhatikan syarat fungsi kontinu dan periksa apa yang sudah tertentu nilainya (tak dapat diubah) pada soal tersebut. Perhatikan bahwa nilai f(-2) dan f(3) tertentu dan sama dengan ½.

Contoh Kontinuitas Tentukan nilai m dan n supaya f(x) kontinu untuk semua nilai x , jika diberikan Penyelesaian: Karena syarat fungsi kontinu berarti nilai dan Sedang jadi jadi