Kalkulus 4 Kalkulus 4 Teknik Mesin Fakultas Teknologi Industri Universitas Gunadarma Fakultas Teknologi Industri

Pokok Bahasan : 1. Deret Fourier 2. Integral Fourier 3. Transformasi Laplace 4. Fungsi Gamma & Fungsi Beta

Referensi : Murray R. Spiegel, Advanced Mathematics, McGraw-Hill, New York. Sokolnikoff, Advanced Calculus, Prentice-Hall, 1995 Suryadi HS, Suhaedi, Matematik Lanjut, Gunadarma, Jakarta, 1994

1. Deret Fourier 1. Deret Fourier

Pokok Bahasan : 1. Fungsi Periodik 2. Fungsi Ganjil & Fungsi Genap 3. Picewise Defined Function 4. Deret Fourier : 4.1. Definisi Deret Fourier : 4.2. Deret Fourier utk F. Ganjil 4.3. Deret Fourier utk F. Genap 4.4. Syarat DIRICHLET

1. Fungsi Periodik Definisi : Suatu fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f(x+P) = f(x); dimana P adalah konstanta positif Harga terkecil dari P  0 disebut periode terkecil, atau disebut periode dari f(x).

Contoh -1: f(x) = sin x  Mempunyai periode 2π, 4π, 6π,… karena : sin x = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) = sin (x + 6π) = ................ = sin (x + nπ) 2π merupakan periode terkecil  Dikatakan periode sin x adalah 2

Grafik f(x) = sin x : Periode

Periode fungsi f(x) = cos x adalah : 2π

Periode tg x adalah π

Jika f(x) = sin nx atau f(x) = cos nx dimana : n = integer Contoh -2: Jika f(x) = sin nx atau f(x) = cos nx dimana : n = integer maka periode dari f(x) adalah : 2π/n sin nx = sin n(x+P) f(x+P) = f(x) sin nx = sin n(x+2/n) sin nx = sin (nx+2)

Contoh -3: periode f(x) x periode f(x) x

Soal Latihan 1 : Apakah fungsi berikut fungsi periodik ? 1. f(t) = cos 6t 2. f(t) = 5 sin (2t+) 2 3. f(t) = sin 2t + cos t 4. f(t) = tg 4t+2cos (t+/3)  3cotg (1/2t-) 5. f(t) = sin 2t + cos 4t Tentukan periodenya !!!

2. Fungsi Ganjil & Fungsi Genap Definisi : Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi ganjil jika berlaku : f(x) =  f(x). Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi genap jika berlaku : f(x) = f(x).

Contoh -4: f(x) = x  Fungsi genap, karena : f(x) = (x) = x 2  Fungsi genap, karena : f(x) = (x) = x 2 Fungsi genap simetris thd Sb.Y

Contoh -5: Fungsi Ganjil f(x) =  f(x). Fungsi ganjil simetris thd titik pusat f(x)

Contoh -6: Tentukan fungsi genap/ganjil !!!

Contoh -7: Tentukan fungsi genap/ganjil !!! f(x) = sin x

f(x) = sin x f(x) = sin (x) =  sin x =  f(x) f(x) = f(x) Fungsi Ganjil

Simetri thd titik pusat Fungsi Ganjil simetri thd titik pusat Simetri thd titik pusat

Selidiki apakah fungsi genap ? f(x) = x Contoh -8 : Selidiki apakah fungsi genap ? f(x) = x 3 f(x) = x 3 f(x) = (x) 3 = x 3 =  f(x) fungsi ganjil

Simetri thd titik pusat

Tentukan fungsi genap/ganjil !!! Contoh -9: Tentukan fungsi genap/ganjil !!! Y X 2   2 Apakah fungsi diatas simetri thd sb.Y ? atau Apakah fungsi diatas simetri thd titik pusat ?

Tentukan fungsi genap/ganjil !!! Contoh -10: Tentukan fungsi genap/ganjil !!! f(x) x Apakah fungsi simetri thd sb.Y ? atau Apakah fungsi simetri thd titik pusat ?

Tentukan fungsi genap/ganjil !!! Contoh -11: Tentukan fungsi genap/ganjil !!! f(x) x fungsi genap Simetri terhadap sb.Y

Perkalian Fungsi Genap/Ganjil Fungsi Genap x Fungsi Genap = Fungsi Genap Fungsi Ganjil x Fungsi Ganjil = Fungsi Genap Fungsi Ganjil x Fungsi Genap = Fungsi Ganjil Jika : mirip dengan + x + = + + = F. Genap  x  = +  = F. Ganjil  x + = 

Bagaimana membuktikannya ??? Misal F(x) = f(x) g(x) dimana f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi genap. f(x) = fungsi genap  f(x) = f(x) g(x) = fungsi genap  g(x) = g(x) F(x) = f(x) g(x) F(x) = f(x) g(x) = f(x) g(x) = F(x) F(x) = F(x)  F(x) = fungsi genap

Perkalian 2 fungsi ganjil akan menghasilkan fungsi ganjil Bagaimana membuktikan Perkalian 2 fungsi ganjil akan menghasilkan fungsi ganjil Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi genap akan menghasilkan fungsi ganjil

Misal F(x) = f(x) g(x) dimana f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi ganjil. f(x) = fungsi ganjil  f(x) =  f(x) g(x) = fungsi ganjil  g(x) =  g(x) F(x) = f(x) g(x) F(x) = f( x) g( x) = [ f(x)] [g(x)] f(x) g(x) = F(x) F(x) = F(x) F(x) = Fungsi Genap

Misal F(x) = f(x) g(x) dimana f(x) fungsi ganjil dan g(x) fungsi genap Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi genap akan menghasilkan fungsi ganjil Misal F(x) = f(x) g(x) dimana f(x) fungsi ganjil dan g(x) fungsi genap f(x) = f(x) g(x) = g(x) F(x) = f(x) g(x) F(x) = f(x) g(x)

F(x) = f(x) g(x) F(x) = f(x) g(x) = f(x) = g(x) F(x) =  f(x) g(x) F(x) F(x) =  F(x) F(x) fungsi ganjil

Fungsi yang didefinisikan 3. Picewise Defined Function Fungsi yang didefinisikan sebagian-sebagian Contoh 12: 1-x ; jika x  1 f(x)= x ; jika x  1 Bagaimana bentuk grafik dari f(x) ???

1-x ; jika x  1 f(x) = x ; jika x  1 y f(x)= x f(x)= 1-x 1 x 1

Terima kasih