Dipresentasikan oleh: OPERATION RESEARCH Dipresentasikan oleh: Indrajaya Krisna P Aditya Nur P Dian Tama N Zaenal Mustopa Fajar Retno Safitri

Inverse Optimization for Linear Fractional Programming Optimasi Inverse Untuk Program Pecahan Linear

Optimasi adalah pencarian nilai-nilai variable yang dianggap optimal dan efisien untuk mencari hasil yang diingikan.

Optimasi Inverse Optimasi Inverse merupakan daerah yang relatif baru dalam penelitian dan studi optimasi yang berguna dalam banyak cabang.

Contohnya adalah persimpangan matroid untuk matroids representable Contohnya adalah persimpangan matroid untuk matroids representable. Untuk beberapa algoritma, solusi konvergen ke optimal secara terbalik : Sebuah contoh adalah biaya algoritma skala untuk aliran biaya minimum.

Masalah pemrograman linier memiliki sejumlah besar variabel, dan dipecahkan oleh metode yang ada atau optimasi perangkat lunak seperti: TORA , EXCEL SOLVER dll.

Macam macam symbol dalam Linear Programing : m = macam batasan – batasan sumber atau fasilitas yang tersedia. n= Macam kegiatan – kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut. i = Nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia ( i= 1,2,3,………..,m) j = Nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (j= 1, 2, 3,…………,n). xj= tingkat kegiatan ke j. (j = 1, 2,……….n). 𝑎 𝑖𝑗 = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran (out put) kegiatan j (i=1,2,3………m) dan j= 1,2,3…….n). 𝑏 𝑖 = banyaknya sumber (fasilitas) I yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i=1,2,3……..,n) Z = Nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum) 𝐶 𝑗 = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan (unit) atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z.

Rumusan Masalah Pada bagian ini, kita mempelajari invers linear masalah pemrograman pecahan. Kami akan mempertimbangkan versi kebalikan dari berikut linear masalah pemrograman pecahan, yang akan kita lihat selanjutnya masalah seperti primal : Dimana I dan J menyatakan himpunan indeks variabel keputusan dan kendala masing-masing. Dalam masalah inversi, kita memperbaiki layak solusi x 0 dan nilai obyektif z * dan untuk membuatnya optimal, kita mengusik vektor biaya c untuk c 'dan d' dalam sedemikian rupa sehingga ││d’-d││ dan ││c’-c││ minimum, di mana ││.││ beberapa L1 norma yang dipilih didefinisikan sebagai

Invers linear fraksional pemrograman (ILFP) masalah di bawah L1 norma dapat dinyatakan sebagai berikut: Yang merupakan masalah pemrograman linier yang memiliki sejumlah besar variabel. Notasi yang digunakan dalam masalah ini didefinisikan dalam bagian berikutnya.

: 3. Metode Standar linear masalah pemrograman pecahan diberikan sebagai berikut Dimana I dan J menunjukkan indeks set variabel keputusan dan kendala masing-masing. Dual atas linear masalah pemrograman pecahan diusulkan dalam [18] adalah program linier berikut:

Dimana yi adalah variabel ganda terkait dengan kendala-i dalam (1) dan vj adalah variabel ganda yang terkait dengan setiap variabel xj. Jika u adalah variabel slack yang terkait dengan setiap kendala dalam masalah primal (1) maka kondisi kelambanan komplementer untuk linear menyatakan bahwa pemrograman pecahan: (x*, u*) memecahkan (1) dan (y*, z*, v*) memecahkan (2) IFF v* x* = 0 dan u* y* = 0 Dengan cara lain dapat ditulis sebagai:

Jika x 0 adalah setiap solusi layak masalah primal dan B adalah indeks set kendala mengikat (1) terhadap x0 (yaitu ) Biarkan L dan F menyatakan himpunan indeks variabel didefinisikan sebagai dan Kemudian menggunakan notasi ini kondisi kelambanan komplementer dapat menyatakan kembali sebagai:

Kami ingin membuat x 0 solusi optimal dari persamaan (1) dengan perturbing vektor biaya c ke c’dan d untuk d’, sehingga mengganti biaya vektor c ke c’ dan d ke d’ dan menggunakan kondisi kelambanan pelengkap dalam persamaan (2) memberikan karakteristik vektor biaya berikut:

Sekarang kami juga ingin membuat nilai fungsi tujuan (z) = z Sekarang kami juga ingin membuat nilai fungsi tujuan (z) = z* untuk solusi yang layak x0, sehingga mengganti z = z* dalam (3) sepanjang dengan fungsi tujuan masalah primal (1) memberikan karakteristik dari vektor biaya baru berikut:

Masalah inversi adalah untuk mengganggu vektor biaya c ke c’dan d ke d’ sehingga solusi yang layak x 0 menjadi solusi optimal untuk masalah dimodifikasi dengan nilai obyektif z * dan ││d’− d││dan ││c’− c││ minimum, di mana ││ . ││beberapa L1 norma yang dipilih didefinisikan sebagai Masalah terbalik di bawah L1 norma dapat dinyatakan sebagai berikut.:

Masalah di atas bukanlah masalah pemrograman linear, tetapi dapat dikonversi ke masalah pemrograman linier menggunakan standar transformasi. Kita tahu bahwa meminimalkan dan setara dengan meminimalkan dan masing-masing, tunduk pada kondisi: Menggunakan transformasi ini di (5) kebalikan linear masalah pemrograman pecahan dapat menyatakan kembali sebagai berikut

4. Contoh numerik Masalah program pecahan linear adalah solusi optimal dengan nilai fungsi tujuan Adalah solusi dari masalah LFP atas dan kami ingin membuat x 0 optimal dengan nilai fungsi tujuan Hal ini dapat dilihat bahwa kedua kendala yang mengikat sehubungan dengan solusi yang layak x 0 dan juga Oleh karena itu dengan kondisi kelambanan komplementer

Invers linear masalah pemrograman pecahan adalah sebagai berikut: Mensubstitusi nilai-nilai a11 = 1, a12 = 1, a21 = 3, a22 = 1, b1 = 4, b2 = 6, c1 = 2, c2 = 3, c0 = 1, d1 = 1, d2 = 1, d0 = 4, dan z * = 1.625 dalam persamaan di atas dan menyederhanakan memberikan:

Contoh Masalah: Perusahaan sepatu “IDEAL” membuat 2 macam sepatu. Macam pertama merk 𝐼 1 , dengan sol dari karet, dan macam kedua merek 𝐼 2 dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu – sepatu tersebut perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet,mesin 2 membuat sol dari kulit , mesin ke 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas sol. Setiap lusin sepatu merek 𝐼 1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan mesin ke 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek 𝐼 2 tidak diproses mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek 𝐼 1 = Rp. 30.000,- sedang merk 𝐼 2 = Rp. 50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merk 𝐼 1 dan merk 𝐼 2 yang dibuat agar memaksimumkan laba.????