PENARIKAN CONTOH DAN SEBARANNYA – 1 Materi Pokok 01 PENARIKAN CONTOH DAN SEBARANNYA – 1 Peubah Acak Bebas Dua peubah acak diskrit X1 dan X2 yang bebas dengan fungsi massa peluang masing-masing f1(x1) dan f2(x2) dan jika maka X1 dan X2 dikatakan bebas dan mempunyai fungsi massa peluang gabungan f1(x1) . f2(x2). Contoh 1.1. Misalkan peubah acak X1 mempunyai massa peluang f1(x1) = 1/6, x1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan f1(x1) dan x2 dengan fungsi massa peluang

Secara umum dengan x1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan x2 = 0, 1, 2, 3, 4 fungsi massa peluang gabungannya menjadi: P(X1 = 1, 2 dan X2 = 3, 4) = P(X1 = 1, 2) P(X2 = 3, 4) karena {X1 = 1, 2} dan {X2 = 3, 4} adalah bebas.

Untuk peubah acak Y = u(X1, X2) misalnya Y = X1 + X2 Untuk peubah acak Y = u(X1, X2) misalnya Y = X1 + X2. Berdasarkan ruang contoh S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan S2 = {0, 1, 2, 3, 4} maka ruang contoh Y = X1 + X2 adalah S = {1, 2, 3, ….., 10} Fungsi massa peluang Y = g(y) dapat dihitung misalnya:

y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 g(y) Nilai Harapan Fungsi Peubah Acak Bebas

Bila X1 dan X2 bebas maka Contoh 1.2. Misalkan X1 dan X2 adalah dua peubah acak bebas hasil pelantunan dua dadu seimbang, sehingga:

Bila Y = X1 + X2 maka Coba cari E(Y) dan Var (Y) dengan menggunakan

Contoh 1.3. Misalkan contoh acak X1, X2, X3 diambil dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan f(x) = e-X, 0 < X <  sehingga fungsi kepekatan gabungannya dengan 0 < Xi < , i = 1, 2, 3

Sebaran Jumlah Peubah Acak Bebas Contoh 1.4. Misalkan percobaan pelantunan dadu seimbang bersisi empat secara bebas dua kali diperoleh hasil X1 dan X2. Hal ini sama dengan X1 dan X2 merupakan contoh acak berukuran n = 2 dari suatu sebaran dengan fungsi massa peluang f(X) = ¼, X = 1, 2, 3, 4. Bila Y = X1 + X2 maka ruang contoh Y adalah S = {2,3,4,5,6,7,8} dan P(Y = y, y  s) = g(y). y 2 3 4 5 6 7 8 g(y)

Rumus konvolusi untuk g(y) Teorema 1.1. Misalkan X1, X2,…, Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi massa peluang gabungan f1(X1) f2(X2)…fn(Xn) dan peubah acak Y = u(X1, X2,…, Xn) mempunyai fungsi massa peluang g(y) maka Teorema 1.2. Jika X1, X2,…, Xn merupakan peubah acak bebas dan untuk i = 1, 2,…, n; E[ui(Xi)] ada maka E[u1(X1) u2(X2) … un(Xn)] = E[u1(X1)]…E[un(Xn)].

Fungsi Pembangkit Momen Dua Atau Lebih Peubah Acak Bebas Bila X1 dan X2 dua contoh acak bebas seperti pada contoh soal 1.4. i2 = 5/4, i = 1,2 sehingga Fungsi pembangkit momen Y = X1 + X2 adalah

Teorema 1.3. Bila X1, X2,…, Xn adalah n peubah acak bebas dengan nilai tengah 1, 2,…, n dan ragam 12, 22,…, n2 maka nilai tengah peubah acak dengan a1, a2,…, an adalah konstanta sehingga

Contoh 1.5. Misalkan X1 dan X2 adalah dua peubah acak bebas dengan nilai tengah 1 = -4 dan 2 = 3 dan ragam 12 = 4 dan 22 = 9. Tentukan nilai tengah dan ragam peubah acak Y = 3X1 - 2X2 Y= 3(-4) – 2(3) = -18 dan Y2= 32 (4) + (-2)2 (9) = 36 + 36 = 72 Teorema 1.4. Bila X1, X2,…, Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momen Mxi(t), i = 1, 2,…, n maka fungsi pembangkit momen:

Contoh 1.6. Misalkan X1, X2, X3 merupakan hasil pengamatan contoh acak berukuran n = 3 dari sebaran eksponensial pembangkit momen M(t) = 1/(1 - t), t < 1/. Fungsi pembangkit momen Y = X1 + X2 + X3 adalah My(t) = [(1 - t)-1]3 = (1 - t)-3, t < ½ dan MY(t) = (1 - t)-3 merupakan fungsi pembangkit momen fungsi kepekatan gamma dengan parameter  = 3 dan . Fungsi pembangkit momen