AKAR PERSAMAAN Metode Pengurung

Akar–akar Persamaan Untuk menentukan akar–akar persamaan polinomial berderajat dua dengan bentuk digunakan rumus:

Untuk polinomial berderajat tiga, empat atau yang lebih tinggi belum ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan polinomial tersebut. Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak.

Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akan didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.

Metode Grafis Metode ini merupakan cara paling mudah, dengan menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian dicari titik potongnya dengan sumbu x yang menunjukkan akar dari persamaan tersebut, tetapi cara ini hanya memberikan hasil yang sangat kasar, karena sulit untuk menetapkan nilai sampai berapa digit dibelakang koma hanya dengan membaca gambar.

y x akar persamaan

METODE PENCARIAN AKAR Metode Tertutup Terbuka Bagi Dua Posisi Palsu Terbuka Fix-Point Iteration NewtonRaphson Secant

METODE BAGI DUA Langkah–langkah metode bagi dua : Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi (fxn) dan (fxn+1)yaitu,apabila : 2. Estimasi pertama dari akar dihitung dengan :

3.Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana akar persamaan berada: a. Jika ,akar persamaan berada pada sub interval pertama,kemudian tetapkan dan lanjutkan pada langkah 4. b. Jika , akar persamaan berada pada sub interval kedua,kemudian tetapkan dan lanjutkan pada langkah 4. c. Jika ,akar persamaan adalah dan hitungan selesai.

4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan : 5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitunganselesai, dan adalah akar persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.

METODE POSISI PALSU Dengan menggunakan metode ini nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh dari pada dengan menggunakan metode bagi dua.

Langkah pertama dimulai dengan mencari nilai fungsi untuk setiap interval x yang sama sampai akhirnya didapat dua nilai fungsi dan berurutan yang mempunyai tanda berlawanan. Dari kedua nilai fungsi dan ditarik garis lurus sehingga terbentuk suatu segitiga.

Metode posisi palsu diberikan pada persamaan berikut : nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai , yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai atau sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda yang berbeda. Prosedur ini diulang sampai didapat nilai mendekati nol.

METODE NEWTON-RAPHSON Dalam metode ini, perkiraan awal dari akar adalah ,suatu garis singgung dapat dibuat dari titik Titik di mana garis singgung tersebut memotong sumbu biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

METODE SECANT Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

Garis singgung dititik didekati oleh bentuk berikut : atau dalam metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari .