DERIVATIF PARSIAL YULVI ZAIKA Free Powerpoint Templates

1.Derivatif Fungsi dua Perubah Derivatif Parsial. Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : (i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu. (ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu. ISTA Yogyakarta

Derivatif Fungsi dua Perubah Definisi 2.1 i). Derivatif parsial terhadap perubah x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y) terhadap x sbb : ISTA Yogyakarta

Derivatif Fungsi dua Perubah ii). Derivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y sbb : disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y. ISTA Yogyakarta

Menentukan nilai derivatif Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan limit a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka ISTA Yogyakarta

Menentukan nilai derivatif b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y jika f(x,y) = x2 + 2y ISTA Yogyakarta

Menentukan nilai derivatif Contoh 2.2. Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu Selanjutnya tentukan nilai ISTA Yogyakarta

= = 2 z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y Lanjutan Contoh 2.2. z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y dan maka : = = 2 ISTA Yogyakarta

2. Dreivatif Parsial Tingkat n Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb: ISTA Yogyakarta

Menentukan nilai derivatif parsial tingkat n Contoh- 2.3. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y Jadi derivatif parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4 x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 dan fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 ISTA Yogyakarta

𝑑𝐹 𝑑𝑦 = 𝑑𝐹 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 + 𝑑𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 ATURAN RANTAI Misal u dan v fungsi yang didefenisikan u=u(x,y) dan v=v(x,y) dengan u dan v kontinu dan memiliki turunan parsial pertama di (x,y). Misal F adalah fungsi dari u dan 𝑑𝐹 𝑑𝑥 = 𝑑𝐹 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑑𝑦 = 𝑑𝐹 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 + 𝑑𝐹 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦

Contoh soal 𝐹 𝑢,𝑣 =3 𝑢 2 − 𝑣 2 ;𝑢=2𝑥+7𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑣=5𝑥𝑦 𝐹 𝑥,𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 ;𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃;𝑦=𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃

3.Diferensial Total z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas. Tinjau kembali fungsi z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y dan dengan mengambil dx = x dan dy = y. diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sbb : ISTA Yogyakarta

Diferensial Total n variabel 1. Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka dz = + + … + 2. Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel independent. ISTA Yogyakarta

Contoh soal diferensial total Contoh-2.4. Tentukan diferensial total untuk r = s2θ + 3 sθ2 ISTA Yogyakarta

Contoh soal diferensial total ISTA Yogyakarta

Tugas 2 : Matematika 2 Dosen: Yulvi zaika ISTA Yogyakarta