Penyelesaian Persamaan Linear (Metode Gauss)

Pendahuluan Pada pertemuan ini akan membahas suatu prosedur sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Konsepnya didasarkan pada gagasan mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut bisa diselesaikan dalam bentuk substitusi

Tujuan & Manfaat Ketika memodelkan permasalahan teknik, seringkali berhadapan dengan persamaan linear yang harus diselesaikan yang melibatkan banyak variabel yang tidak diketahui Perlu cara sistematis untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan menggunakan metode eliminasi gauss Eliminasi ini dapat digunakan pada sistem persamaan berskala kecil maupun skala besar

Bentuk Metode Gauss Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusi

Kasus Penyelesaian sistem x + 2y + z = 3 (1) 3x - y – 3z = -1 (2)

Kasus Eliminasi x pada pers (1) dan (2) x + 2y + z = 3 (1) (*3)

Kasus Eliminasi x pada pers (1) dan (3) x + 2y + z = 3 (1) (*2)

Kasus Eliminasi y pada pers (4) dan (5) 7y + 6z = 10 (4) (*1) subtitusi z=4 ke pers (5) y + 4 = 2 y = -2 subtitusi z=4, y=-2 ke pers (1) x + 2.-2 + 4 = 3 x = 3  x = 3; y = -2; z = 4

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selesaikan persamaan berikut x + 2y + z = 3 (1) 3x - y – 3z = -1 (2) 2x + 3y + z = 4 (3)

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selesaikan persamaan berikut x + 2y + z = 3 (1) 3x - y – 3z = -1 (2) 2x + 3y + z = 4 (3) Penyelesaian dimulai dengan menuliskan bentuk augmented matriknya

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Kita sebut baris pertama sebagai baris poros dan entri 1 (yg dilingkari) sebagai poros Langkah 1. baris pertama digunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom pertama dari baris kedua dan ketiga baris pertama dikalikan 3 untuk mengeliminasi baris kedua baris pertama dikalikan 2 untuk mengeliminasi baris kedua

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Langkah 2 baris kedua digunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom kedua dari baris ketiga baris kedua dikalikan 1/7 untuk mengeliminasi baris

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Langkah 3: Gunakan substitusi untuk mendapatkan penyelesaian Baris ketiga  -1/7z = -4/7  z = 4 Baris kedua  -7y – 6z = -10  y = -2 Baris pertama  x + 2y + z = 3  x = 3 Diperoleh x=3; y=-2; z=4

Kesimpulan

Algoritma dasar metode Gauss Secara umum sistem persamaan linear: 1. Ubahlah sistem persamaan tersebut menjadi matrik augment (berukuran n x (n+1) )

3. Lakukan proses triangularisasi, sehingga menjadi bentuk:

Langkah terakhir : lakukan proses substitusi mundur untuk memperoleh nilai x1, x2, x3, ….. , xn Contoh: Selesaikan sistem persamaan linear berikut: Sistem ini adalah sistem yang determined. Untuk menyelesaikannya buat augmented matriknya.

Latihan Selesaikan sistem persamaan berikut: 1.

Sistem Kelebihan Persamaan (Overdetermined System) x + 2y + z = 1 2x - y + z = 2 4x + 3y + 3z = 4 3x + y + 2z = 3 diperoleh y = -1/5z x = 1 -2y-z  1- 3/5z Terlihat bahwa himpunan penyelesaian adalah semua tripel berturut bentuk (1-3/5α, -1/5α, α) dimana α adalah bilangan real Sistem ini memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian karena x dan y dinyatakan oleh peubah bebas z

Sistem Kekurangan Persamaan (Underdetermined System) a + b + c + d + e = 2 a + b + c + 2d + 2e = 3 a + b + c + 2d + 3e = 2

Sistem Kekurangan Persamaan (Underdetermined System) diperoleh e = -1; d = 2; a = 1 - b - c Jadi untuk sembarang bilangan real α, β diperoleh (1- α – β, α, β, 2, -1)

Summary Ketika jumlah persamaan kurang dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang underdetermined Ketika jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang overdetermined