TEORI PENARIKAN CONTOH DAN SEBAGAINYA Materi Pokok 03 TEORI PENARIKAN CONTOH DAN SEBAGAINYA Sebaran t dan F Peubah acak dengan Z sebagai peubah acak normal baku dan U adalah peubah acak yang menyebar 2(r) di mana Z dan U adalah dua peubah acak bebas. Fungsi kepekatan t adalah U dan V adalah bebas dengan sebaran Khi-Kuadrat dan menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r1 dan r2.

Fungsi kepekatan peluang peubah acak F adalah = pengganti f untuk membedakan f sebagai notasi fungsi. Bila ingin membandingkan ragam dua sebaran normal N(, 12) dan N(2, 22). Contoh acak bebas diambil dengan ukuran masing-masing n1 dan n2 sehingga nisbah Dengan S12 dan S22 ragam contoh dari populasi 1 dan populasi 2.

Nisbah ini mengingatkan kita pada F: U adalah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas n1 – 1 dan V juga adalah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r2 = n2 – 1 dan kedua peubah acak ini bebas. Contoh 3.1 Jika sebaran F adalah F(r1, r2) maka dengan tabel f dapat dihitung misalnya: r1 = 7, r2 = 8 P(F  3,5) = 0,95 sehingga F 0,05(7,8) = 3,5 dan Untuk r1 = 9, r2 = 4 P(F  314,66) = 0,95 sehingga F 0,05(9,4) = 14,66

Tabel f dapat digunakan untuk nilai peluang kumulatif 0,01; 0,01 dan 0,05 dengan 1/F.

Contoh 3.2 Jika sebaran F adalah F(4, 9) maka P(F  c) = 0,01 dan P(F  d) = 0,05 Dapat diperoleh sebagai berikut: Limit Fungsi Pembangkit Momen Suatu sebaran Binomial dapat didekati dengan sebaran Poisson bila n cukup besar dan p kecil. Fungsi pembangkit momen sebaran Binomial dapat didekati dengan fungsi pembangkit momen Poisson. Perhatikan: Y ~ b(n, p), n   np   n  0

Fungsi pembangkit momennya

Teorema 3.1 Jika barisan fungsi pembangkit momen mendekati nilai tertentu sebut M(t) maka limit sebaran berhubungan dengan sebarannya. Contoh 3.3 Fungsi pembangkit momen Poisson dengan  = 5 mempunyai sebaran Binomial dengan np = 5. Keempat Fungsi Pembangkit Momen:

Makin besar n, nilai pendekatan Binomial makin dekat dengan nilai sebaran Poisson. Contoh 3.4 Peubah acak Y ~ b(50, 1/25) maka Dan dengan sebaran Poisson  = np = 2 P(Y  1) = 0,406 Bila contoh acak X1, X2, …., Xn dari sebaran dengan nilai tengah  maka fungsi pembangkit momen

Contoh 3.5 Misalkan X1, X2, ….., Xn merupakan contoh acak berukuran n dari sebaran eksponensial dengan  = 2. Fungsi pembangkit momen Ketaksamaan Chebychev dan kekonvergenan Dalam Peluang Teorema 3.2 Jika peubah acak X mempunyai nilai tengah  dan ragam 2 maka untuk k  1

Contoh 3.6 Jika X mempunyai nilai tengah 25 dan ragam 2 = 16 maka batas bawah (Lower Bound) dari P(17 < X < 33) adalah Dan batas atas (Upper Bound) untuk P(|X – 25|  12) adalah

Jika peubah acak Y ~ B(n, p) Jika peubah acak Y ~ B(n, p). Y/n frekuensi sukses dan p tidak diketahui sehingga Y/n digunakan menduga p.