Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT

Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum: Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

Sistem Persamaan Linear Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah: a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut? d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Bentuk umum : dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN BANYAK SPL Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN

ILUSTRASI GRAFIK SPL 2 persamaan 2 variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

Cara Penyelesaian SPL Metode Subtitusi Metode Eliminasi Contoh Penyelesaian SPL menggunakan Metode subtitusi Tentukan penyelesaian 3 persamaan linear berikut : 𝑥+𝑦+𝑧 =2 𝑥−𝑦+𝑧 =0 2𝑥+3𝑦+6𝑧=1

JAWAB ℎ𝑖𝟐𝒚 = 2 5y+4z =1 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒔𝒊 𝑺𝑷𝑳 𝒙=𝟐 y =𝟏 𝒛=−𝟏 ℎ𝑖𝒚 = 1 5(1) +4z =1 ℎ𝑖𝟐𝒚 = 2 5y+4z =1 𝑥+𝑦+𝑧 =2 𝑦−𝑧 +𝑦+𝑧 =2 𝑥−𝑦+𝑧 =0 𝑥=𝑦−𝑧 2𝑥+3𝑦+6𝑧=1 2 𝑦−𝑧 +3𝑦+6𝑧=1 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒔𝒊 𝑺𝑷𝑳 𝒙=𝟐 y =𝟏 𝒛=−𝟏 ℎ𝑖𝒚 = 1 5(1) +4z =1 4z =- 4 Z=- 1 ℎ𝒙+𝒚+𝒛 =2 𝒙+𝟏+-1 =2 𝒙=2

Metode Eliminasi 𝑥+𝑦+𝑧 =2 𝑥−𝑦+𝑧 =0 2𝑥+3𝑦+6𝑧=1 𝑥+𝑦+𝑧 =2 𝑥−𝑦+𝑧 =0 + 𝑥+𝑦+𝑧 =2 𝑥−𝑦+𝑧 =0 2𝑥+3𝑦+6𝑧=1 𝑥+𝑦+𝑧 =2 𝑥−𝑦+𝑧 =0 + 2𝒙+𝟐𝒛 =𝟐 𝑥+𝑦+𝑧 =2 Kalikan 3 2𝑥+3𝑦+6𝑧 =1 𝐾𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 1 3𝑥+3𝑦+3𝑧 =6 2𝑥+3𝑦+6𝑧 =1 − 𝒙−𝟑𝒛 =𝟓 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 2𝒙+𝟐𝒛 =𝟐 𝒙−𝟑𝒛 =𝟓

Lanjutan 2𝑥+2𝑧 =2 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 2𝑥−6𝑧 =10 - 2𝒙+𝟐𝒛 =𝟐 𝑲𝒂𝒍𝒊𝒌𝒂𝒏 𝟏 8𝑧 =−8 2𝑥+2𝑧 =2 2𝑥−6𝑧 =10 - 8𝑧 =−8 𝑧 =−1 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 2𝒙+𝟐𝒛 =𝟐 𝑲𝒂𝒍𝒊𝒌𝒂𝒏 𝟏 𝒙−𝟑𝒛 =𝟓 𝑲𝒂𝒍𝒊𝒌𝒂𝒏 2 𝑥−3𝑧 =5 𝑥−3(−1) =5 𝑥+3 =5 𝑥 =2 maka y =1

Latihan Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode subtitusi a+b+c = 2 Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode Eliminasi 4a+3b+5c = 18 2a-6b+4c = -42 a-b+c = - 5

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya. MATRIKS Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder- hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

Sistem Persamaan Linier Operasi Baris Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut: a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut. b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut. c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

CONTOH DIKETAHUI …………(i) …………(ii) …………(iii) kalikan baris (i) kalikan pers (i) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke pers (ii). kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). kalikan pers (i) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke pers (iii). kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii). kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii)

LANJUTAN CONTOH kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii). kalikan pers (iii) dengan (-2). kalikan brs (iii) kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

Lanjutan CONTOH Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii) kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii) Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.

Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Contoh: Suatu sistem persamaan linier: Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

Matriks gandengnya adalah: Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol. Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

Hasil terakhir langkah ketiga adalah: Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks: Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier: yang dengan substitusi mundur akan memberikan: