SEBARAN PELUANG DISKRIT KHUSUS 1 Materi Pokok 11 SEBARAN PELUANG DISKRIT KHUSUS 1 Sebaran Peluang Bernoulli dan Binomial Bila suatu percobaan/eksperimen melantungkan sekeping mata uang atau sebutir dadu, kemudian dicatat suatu kejadian yang disebut kejadian sukses. Kejadian sukses mempunyai peluang yang ditandai dengan p dan kejadian lainnya adalah kejadian tidak sukses dengan peluang q = 1 – p. Percobaan (eksperiment) semacam ini disebut percobaan Bernoulli dan serangkaian n buah experimen yang bebas satu dengan yang lain akan terbentuk x kejadian sukses dan n - 1 kejadian gagal. Kejadian x merupakan nilai peubah acak yang menyebar secara Binomial.

Sebaran Bernoulli Suatu peubah acak X mempunyai dua macam nilai x1 dan x2; X = {x1, x2}dengan P (X = x1) = p, P (X = x2) = 1 – p dimana 0 < p < 1 dapat ditulis X = x1 I {X = x1} + x2 I {X = x2} F (x) = p (x - x1) + (1 – p)  (x – x2) Untuk k = 1 E (X) = p x1 + (1 – p) x2 Var (X) = p (1 –p) (x1 - x2)2

Untuk x1 = 1, x2 = 0 diperoleh peubah acak Bernoulli, yaitu P (X = 1) = p, p (X = 0) = 1 - p, 0 < p < 1 Peubah acak X yang menyebar secara Bernoulli dilambangkan dengan X ~ b (1, p). Fungsi peluang Binomial Ekspansi Binomial

Beberapa sifat sebaran Binomial Rata-rata =  atau nilai harapan = E(X) peubah acak X ~ b (n, p) adalah E(X) = np Ragam (Varians) peubah acak X ~ b (n, p) adalah 2 = npq Misalkan percobaan ke j merupakan peubah acak Bernoulli Ij yang mengambil nilai 0 dan 1 dengan peluang q dan p dan pada percobaan Binomial jumlah sukses merupakan penjumlahan n buah indikator bebas sehingga X = I1 + I2 + …. + In Nilai harapan Ij = E(Ij) = 0q + 1p = p dan  = E(X) = E (I1) + E (I2) + ….. + E (In) =

Ragam setiap Ij adalah Ij2 = E(I1 – p)2 + E(I2 – p)2 + ….. + E(In – p)2 Simpangan baku peubah acak X yang menyebar secara Binomial adalah Koefisien kemoncongan (skewness) = 3 dari peubah acak x yang menyebar secara Binomial adalah Koefisien kegemukan (kurtosis) = 4 dari peubah acak x yang menyebar secara Binomial adalah

Fungsi pembangkit momen peubah acak X yang menyebar secara Binomial adalah M(t) = (q + pet)n Fungsi kharakteristik peubah acak X yang menyebar secara Binomial adalah () = (q + pei)n Sebaran Multinomial Bila dalam eksperimen mempunyai lebih dari kejadian (bukan hanya sukses dan gagal saja) maka akan menjadi percobaan Multinomial. Suatu eksperimen menghasilkan k kejadian E1, E2, …., Ek dengan peluang p1, p2, …., pk maka sebaran multinomial akan memberikan peluang bahwa E1 terjadi x1, E2 terjadi x2, ….. dst Ek terjadi xk kali didalam percobaan bebas dengan x1 + x2 + …. + xk = n.

Sebaran peluang gabungannya menjadi Jumlah total urutan yang menghasilkan kejadian yang sama untuk n percobaan sama dengan jumlah partisi dari n barang ke dalam k kelompok dengan x1 dalam kelompok pertama, dalam kelompok kedua, … dan xk didalam kelompok ke k adalah

Ilustrasi Sebutir dadu dilantunkan delapan kali maka peluang memperoleh mata 5 dan 6 masing-masingg dua kali dan mata lainnya masing-masing satu kali. Banyak kalinya memperoleh mata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah x1, x2, x3, x4, x5 dan x6 dengan peluang masing-masing dan x1 = x2 = x3 = x4 = 1, x5 = x6 = 2 sehingga peluangnya menjadi: Sebaran trinomial dengan fungsi peluang

dimana x, y adalah bilangan bulat non negatif sedemikian hingga x + y  n dan p1, p2, p3 > 0 dengan p1 + p2 + p3 = 1 Sebaran peluang marginal untuk x adalah