Metode Simpleks Dual dan Kasus Khusus Metode Simpleks

Pengantar Ide awal digunakan untuk menyelesaikan masalah PL tanpa menggunakan variabel artifisial  muncul masalah PL yang tidak memiliki pemecahan dasar yang layak (non-fisibel) = kendala nonnegatif tidak dipenuhi, maka digunakan metode Dual-Simpleks Contoh : minimumkan z = 2x1+3x2 kendala -x1+ x2 ≤-5 3x1+ x2 ≤-6 syarat nonegatif x1,x2≥0

Ketentuan Metode Dual Simpleks Leaving variable adalah variabel basis yang memiliki nilai paling negatif (jika nilainya sama dipilih sembarang). Bila variabel basis sudah positif/nol → proses berakhir (solusi sudah fisibel dan optimal) Entering Variabel dipilih dari variabel non-basis berdasarkan rasio = koefisien persamaan z dibagi dengan koefisien persamaan yang berkaitan dengan baris Leaving Variabel Minimasi : EV = variabel dengan rasio positif terkecil Maksimasi : EV = variabel dengan absolut terkecil

Contoh Minimumkan z = 4x1+2x2 Kendala 3x1+ x2 ≥27 Tidak menggunakan Kendala variabel artifisial maka -3x1- x2 +S1 = -27 kalikan semua kendala - x1- x2 +S2 = -21 dengan pembatas “≥” - x1- 2x2 +S3 = -30 dengan -1 maka x1,x2,S1,S2,S3 ≥ 0

1 Minimumkan z - 4x1 - 2x2 =0 Kendala -3x1- x2 +S1 = -27 x1,x2, S1, +S2, S3 ≥ 0 EV Iterasi Basis x1 x2 S1 S2 S3 solusi z -4 -2 -3 -1 1 -27 -21 -30 Rasio LV -4/-1=4 -2/-2=1 1 z -3 -1 30 S1 -11/5 -1/2 -12 S2 -6 x2 1/2 15 Rasio 15/11 2 LV EV

2 3 Solusi optimal dan layak adalah x1=3, x2 = 18 dan z = 48 Iterasi Basis x1 x2 S1 S2 S3 solusi 2 z -6/5 -2/5 44 2/5 1 4 4/5 -1/5 -3 3/5 -3/5 12 3/5 Rasio 6 3 -1 48 -1/2 1/2 -2 ½ 9 x3 -1 ½ 18 Kondisi Optimal Kondisi fisibel Solusi optimal dan layak adalah x1=3, x2 = 18 dan z = 48

Kasus khusus Metode Simpleks Degenerasi Maksimumkan z = 3x1+9x2 Kendala x1 + 4x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 4 x1,x2 ≥ 0 Iterasi Basis x1 x2 S1 S2 solusi z -3 -9 1 4 8 2 -3/4 9/4 18 1/4 1/2 -1/2 3/2 -1 Muncul 0 pada kolom solusi sehingga ada variabel basis yang bernilai 0

Kasus khusus Metode Simpleks 2. Optimum Relatif Maksimumkan z = 2x1+4x2 Kendala x1 + 2x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 4 x1,x2 ≥ 0 Pada variabel non basis koefisien fungsi tujuannya = 0 Iterasi Basis x1 x2 S1 S2 solusi z -2 -4 1 2 5 4 10 1/2 5/2 -1/2 3/2 -1 3 x2=5/2 x1=0 z=10 x2=1 x1=3 z=10

Kasus khusus Metode Simpleks 3. Pemecahan Tidak Dibatasi Maksimumkan z = 2x1+x2 Kendala x1 - x2 ≤ 10 2x1 ≤ 40 x1,x2 ≥ 0 Iterasi Basis x1 x2 S1 S2 solusi z -2 -1 1 10 2 40 Dikolom variabel non basis (x2) ada nol dan negatif

Latihan Gunakan metode dual simpleks 1. Minimumkan z = 2x1+3x2 Kendala 2x1 + 2x2 ≤ 30 x1 + 2x2 ≥ 10 x1,x2 ≥ 0 2. Minimumkan z = 4x1+2x2 Kendala x1+x2 = 1 3x1-x2 ≥2 (Gantikan persamaan dengan dua pertidaksamaan)

Latihan Tunjukkan PL ini mengalami degenerasi temporer 3. Maksimumkan z = 3x1+2x2 Kendala 4x1 + 3x2 ≤ 12 4x1 + x2 ≤ 8 4x1 - x2 ≤ 12 x1,x2 ≥ 0