KONVOLUSI Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM SISTEM LINIER KONVOLUSI Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memahami kegunaan konvolusi Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan proses konvolusi Mahasiswa mampu menyelesaikan proses konvolusi dalam analisis sistem kontinyu Mahasiswa mampu menyelesaikan proses konvolusi dalam analisis sistem diskrit Mahasiswa memahami dan dapat menjelaskan sifat-sifat konvolusi

Outline Representasi Sinyal sebagai Impuls Response Impulse Penurunan Konvolusi Jumlah Arti Konvolusi Metoda Konvolusi Dua Sinyal Penurunan Konvolusi Integral

Kegunaan konvolusi Untuk proses pengolahan citra : Perbaikan kualitas citra Penghilangan derau Penghalusan citra Deteksi tepi Dll

Representasi Sinyal sebagai Impuls Kita dapat merepresentasikan berbagai sinyal melalui pen-sampling-an dengan unit impulse tergeser: Disebut sebagai sifting (or shifting) property:

Response Impuls (t) h(t) [n] h[n] Sistem H Sistem H Respons dari sistem ketika sinyal input adalah unit impulse (t) disebut sebagai respons impulse, dan direpresentasikan oleh h(t). Pada Sinyal Kontinyu : h(t) = H((t)) Pada Sinyal Diskrit : h[n] = H[[t]] Sistem H (t) h(t) Sistem H [n] h[n]

Penurunan Konvolution Jumlah Pada Sinyal Diskrit LTI, misal h[n] adalah respons impuls dari sistem H. signal x[n] sebagai masukan H. tulis x[n] dalam bentuk representasi unit impulses: Maka sinyal output y[n] menjadi:

Penurunan Konvolution Jumlah (cont’d) Karena additivitas pada sistem LTI : Karena homogenitas pada sistem LTI : Karena time-invariance pada sistem LTI:

Arti Konvolusi Persamaan disebut sebagai konvolusi jumlah (convolution sum) atau superposition sum, dan direpresentasikan oleh: Perlu dicatat bahwa ini bukan perkalian antara x[n] dan h[n]. Secara Visual konvolusi berarti : Cerminkan h[k] Geser h[k] untuk seluruh nilai n yang mungkin, sampai melewati x[k] Kalikan x[k] dengan h[n-k] Jumlahkan hasilnya

Contoh Dua buah isyarat diskrit x(n) dan y(n) mempunyai representasi sebagai berikut: x(n) = 1 n = -1,0,1 0, n lainnya sedangkan, 1 n=1 y(n) = 2, n=2 0, n lainnya carilah r(n) = x(n)*y(n).

Untuk mencari nilai r(n) adalah sebagai berikut: Penyelesaian: Untuk mencari nilai r(n) adalah sebagai berikut: x(k) k 1 2 -1 -2 -3 3 y(k) (a) y(n-k) (b) y(-k) (c) r(n) n 4 5

Penurunan Konvolusi Integral Pada sistem waktu kontinyu LTI H, misal h(t) adalah respons impulse sistem. signal x(t) sebagai masukan H. Tulis “staircase approximation” untuk x(t) dalam bentuk unit impulse: dimana .

Penurunan Konvolusi Integral (cont’d) Maka, sinyal output signal y(t) menjadi : Karena additivitas pada sistem LTI : Karena homogenitas pada sistem LTI :

Penurunan Konvolusi Integral (cont’d) Karena time-invariance pada sistem LTI : dimana adalah staircase approximation dari h(t).

Pada kasus diatas penjumlahan didekati konvolusi integral dibawah:

Konvolusi Contoh h(t) x(t) y(t)= ? 1 t h(t) 1.5 2.5 x(t) 1 t -1.5 -2.5 h(t) 1.5 2.5 x(t) 1 t -1.5 -2.5 x(-t) 1 t p-1.5 p-2.5 x(p-t)

Konvolusi y(t) dicari dengan persamaan Untuk p-1.5<0 atau p<1.5 x(p-t) h(t)

Konvolusi 2. Untuk p-1.5>0 dan p-2.5<0, atau 1.5<p<2.5 1 t x(p-t) h(t)

Konvolusi 3. Untuk p-1.5>1 dan p-2.5<1, atau 2.5<p<3.5 1 t x(p-t) h(t)

Konvolusi 4. Untuk p-2.5>1, p>3.5 1 t p-1.5 p-2.5 x(p-t) h(t)

Konvolusi y(t) menjadi h(t) x(t) y(t)= ? 1 p 1.5 2.5 y(p) p-1.5 3.5-p h(t) 1.5 2.5 x(t) y(t) 3.5 t-1.5 3.5-t

Contoh Carilah sinyal r(t) yang merupakan hasil konvolusi dua sinyal tersebut. 1 x(p) p -1 h(p) 2 h(t-p) t-1 t-2

Untuk mencari nilai konvolusi kedua isyarat kontinyu digunakan: r(t) = x(t) * h(t) 1 h(t-p) p t-1 t-2 y(p) x(p) (a) (b) (c) (d)

Hasil konvolusi r(t) pada tiap penggal waktu tersebut adalah sebagai berikut Pada saat t<1 Pada periode ini sinyal h(t-p) belum sampai ke titik awal x(p) maka: r(t) = 0 Pada saat 1<t<2 Pada saat 1<t<2 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar (b) adalah 0 dengan batas atas t-1. r(t) = t-1

Pada saat 2<t<3 Pada saat 2<t<3 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar (c) adalah t-2 dengan batas atas 1. r(t) = 1-(t-2) = 3-t Pada saat t<3 Pada waktu ini h(t-p) sudah meninggalkan batas akhir x(p) sehingga: r(t) = 0

Hasil konvolusinya adalah : r(t) = x(t) * h(t) Dengan demikian hasil konvolusi secara keseluruhan adalah sebagai berikut: t-1 1<t<2 r(t) = 3-t 2<t<3 0, t lainnya 1 t 3-t 3 2 r(t) t-1

Sifat-sifat Konvolusi Commutative Distributive Associative Causality Step Response

Sifat-sifat Konvolusi Commutative Property: x[n]*y[n]=y[n]*x[n] x(t)*y(t)=y(t)*x(t) Distributive Property: x[n]*(y1[n] + y2[n])=x[n]*y1[n] + x[n]*y2[n] x(t)*(y1(t) + y2(t))=x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t) Associative Property: x[n]*(y1[n]*y2[n])=(x[n]*y1[n])*y2[n] x(t)*(y1(t)*y2(t))=(x(t)*y1(t))*y2(t)

Interconnections of LTI systems Parallel connection of LTI system The output of the system is y(t) = y1(t) + y2(t) = x(t)*h1(t) + x(t)*h2(t)

Interconnections of LTI systems (2) Using distributive property, the output may be expressed as: x(t)*h1(t) + x(t)*h2(t) = x(t)*{h1(t) + h2(t)} the output for a discrete-time is: x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n] = x[n]*{h1[n] + h2[n]}

Interconnections of LTI systems (3) Cascade connection of systems cascade connection system has associative and commutative property as: {x(t)*h1(t)}*h2(t) = x(t)*{h1(t)*h2(t)} and h1(t)*h2(t) = h2(t)*h1(t)

Causality Sistem kausal jika output hanya bergantung hanya pada sinyal input saat ini dan sebelumnya. Sistem LTI Kausal: Karena kausalitas h[n-k] harus nol untuk k>n. Shg, n-k<0 untuk sistem LTI kausal. Maka h[n]=0 untuk n<0.

Causality (cont’d) Maka konvolusi jumlah untuk sistem LTI kausalmenjadi: Samahalnya, konvolusi integral untuk sistem LTI kausal: Maka jika sistem kausal, respons impulse nol untuk nilai waktu negatif dan gunakan persamaan konvolusi yang lebih sederhana seperti di atas

Step Response (t) Sistem H h(t) u(t) Sistem H s(t) Unit Step Response: Keluaran sistem ketika diberikan masukan sinyal step. Direpresentasikan oleh oleh s[n] atau s(t). Seluruh karakteristiknya pada sistem LTI serupa dengan Respons Unit Impulse. (t) Sistem H h(t) u(t) Sistem H s(t)

Step Response dan Impulse Response Hubungan Respons Step dan Respons Impulse: Exercise: buktikan hubungan persamaan di atas.