Program Studi Statistika, semester Ganjil 2015/2016 Ekonometrika Program Studi Statistika, semester Ganjil 2015/2016 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Masalah Teknis Sehubungan dengan Data Deret Waktu Adanya time lags  beda waktu Korelasi antara variabel yang berbeda waktu (serial correlation, a.k.a. autocorrelation  korelasi dengan dirinya sendiri)

Data Deret Waktu Dan Korelasi Serial Notasi bagi data deret waktu: Yt : Variabel Y pada waktu t. Y1,…,YT , T adalah lama waktu diamatinya deret waktu dari peubah acak Y Pengamatan dilakukan pada selang waktu yang teratur (bulanan, harian, tahunan dst) tanpa adanya data hilang.

Transformasi Data Deret Waktu: lag, pembedaan (difference) Lag pertama dari suatu deret waktu Yt , t = 1, … T adalah Yt-1, t = 2, …, T Lag ke j dari suatu deret waktu Yt , t = 1, … T adalah Yt-j , t = j+1, …, T Pembedaan pertama (first difference) dari suatu deret waktu Yt adalah deret waktu baru yang merupakan selisih antara Yt dengan lag pertamanya Yt-1: ∆Yt =Yt -Yt-1

Contoh: Inflasi di US berdasarkan CPI, lag pertama dan pembeda pertama

Autokorelasi Korelasi antara suatu deret waktu dengan lag ke-j dari deret tersebut Disebut pula dengan korelasi serial (serial correlation). Autokorelasi pertama dari Yt adalah corr(Yt,Yt–1) Autokovarians pertama dari Yt adalah cov(Yt,Yt–1) Secara fungsional (populasi): 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑌 𝑡 , 𝑌 𝑡−1 = 𝑐𝑜𝑣 𝑌 𝑡 , 𝑌 𝑡−1 𝑣𝑎𝑟 𝑌 𝑡 𝑣𝑎𝑟 𝑌 𝑡−1 = 𝜌 1

Autokorelasi Autokorelasi sampel pada lag pertama: 𝜌 1 = 𝑡=2 𝑇 𝑌 𝑡 − 𝑌 2,𝑇 𝑌 𝑡−1 − 𝑌 1,𝑇−1 𝑡=1 𝑇 𝑌 𝑡 − 𝑌 2 Autokorelasi sampel pada lag ke – j: 𝜌 𝑗 = 𝑡=𝑗+1 𝑇 𝑌 𝑡 − 𝑌 𝑗+1,𝑇 𝑌 𝑡−𝑗 − 𝑌 1,𝑇−𝑗 𝑡=1 𝑇 𝑌 𝑡 − 𝑌 2

Autokorelasi Perhitungan autokorelasi bermanfaat untuk menentukan metode mana yang sesuai untuk peramalan Dari materi sebelumnya, peramalan dengan asumsi trend bersifat deterministik dapat dilakukan jika sisaan model tidak menunjukkan adanya autokorelasi.

Stasioneritas Stasionaritas adalah kunci supaya situasi di masa lalu tetap relevan dengan situasi di masa kini maupun masa depan Suatu deret waktu Yt dikatakan stasioner jika sifat deret tersebut (secara peluang) tidak berubah seiring waktu. Sifat Y1, …, YT sama dengan Y1+s , …, YT+s , untuk berapapun perbedaan waktu s

Peramalan: Terminologi dan Notasi

Kesalahan Peramalan (Forecast errors)

Non Stationarity - Trends

Trend Deterministik dan Stokastik

Trend Deterministik dan Stokastik

Trend Deterministik dan Stokastik

Random Walk dengan Pergeseran (drift)

Trend Deterministik dan Stokastik

Stochastic trends and unit autoregressive roots

Stochastic trends and unit autoregressive roots Random walk (dengan pergeseran/drift): Yt = 0 + Yt–1 + ut AR(1): Yt = 0 + 1Yt–1 + ut Hubungan antara random walk dan AR (1) Random walk adalah AR(1) dengan 1 = 1. Kasus khusus 1 = 1 disebut unit root. Ketika 1 = 1, model AR(1) dapat dirubah menjadi: Yt = 0 + ut Deret hasil pembedaan (differentiated series) sebagai deret yang stasioner di sekitar 0

2. Masalah apa yang disebabkan oleh trend?

3. Bagaimana Mendeteksi Adanya Trend?

Uji DF pada AR(1)

Nilai kritis Table DF

Integrated Stochastic Processes Proses random walk tanpa pergeseran adalah proses yang tidak stasioner Yt = Yt–1 + ut Akan tetapi pembedaan pertama dari proses tersebut bersifat stasioner (di sekitar nol) Yt =Yt – Yt–1 = ut Proses tersebut dinyatakan sebagai proses terintegrasi berorde 1 (integrated of order 1)

Random Walk tanpa Pergeseran (no drift)

Integrated Stochastic Processes Suatu proses yang harus mengalami pembedaan sampai dengan pembedaan ke – d untuk mencapai stasioner, disebut dengan proses terintegrasi berorde d Yt ~ I(d) Proses stasioner dinyatakan sebagai proses terintegrasi berorde 0 Yt ~ I(0)

Sifat – sifat Deret Terintegrasi Kombinasi linier dari deret stasioner dan deret terintegrasi berorde satu (tidak stasioner) adalah deret terintegrasi berorde satu (tidak stasioner). Fungsi linier dari suatu deret akan mempunyai sifat yang sama dengan deret tersebut. Jika deret asal stasioner maka fungsi liniernya juga stasioner Jika deret asal terintegrasi dengan orde d (tidak stasioner) maka fungsi liniernya adalah deret yang juga terintegrasi dengan orde d (tidak stasioner).

Sifat – sifat Deret Terintegrasi Kombinasi linier dari dua deret yang tidak stasioner menghasilkan deret yang juga tidak stasioner. Deret tersebut merupakan deret terintegrasi dengan orde tertinggi dari dua deret asal. Jika kedua deret asal mempunyai orde integrasi yang sama (d) maka kombinasi dari keduanya dapat saja mempunyai orde integrasi yang lebih kecil (d* < d) Ketika d*= 0, maka kedua deret tersebut mengalami proses kointegrasi

Spurious Regression Yt = Yt–1 + ut Xt = Xt–1 + ut Diberikan dua deret berikut: Yt = Yt–1 + ut Xt = Xt–1 + ut Keduanya adalah deret yang tidak stasioner (terintegrasi dengan orde 1), masing – masing mempunyai stochastic trend Regresi Yt terhadap Xt akan menghasilkan model dengan R2 yang tinggi, meskipun keduanya tidak berkorelasi, atau tidak berhubungan secara terapan.

Plot deret waktu variabel X

Plot Deret Waktu Variabel Y

Regresi Yt terhadap Xt Model 1: OLS, using observations 1980:01-2038:04 (T = 700) Dependent variable: Y coefficient std. error t-ratio p-value --------------------------------------------------------- const -7.33993 0.870523 -8.432 1.95e-016 *** X 0.837184 0.0205007 40.84 3.57e-187 *** Mean dependent var 25.67996 S.D. dependent var 15.69695 Sum squared resid 50817.50 S.E. of regression 8.532552 R-squared 0.704943 Adjusted R-squared 0.704521 F(1, 698) 1667.648 P-value(F) 3.6e-187 Log-likelihood -2492.977 Akaike criterion 4989.955 Schwarz criterion 4999.057 Hannan-Quinn 4993.473 rho 0.989723 Durbin-Watson 0.022227

Spurious Regression Yt dan Xt Fenomena tersebut adalah spurious regression atau regresi yang tidak masuk akal (regresi lancung). Jika dilakukan pembedaan pertama terhadap keduanya, maka akan dihasilkan dua deret yang stasioner Yt dan Xt Regresi dari Yt terhadap Xt akan menghasilkan R2 menuju nol

Plot deret waktu X

Plot deret waktu Y

Regresi Y terhadap X Model 2: OLS, using observations 1980:02-2038:04 (T = 699) Dependent variable: d_Y coefficient std. error t-ratio p-value ------------------------------------------------------- const 0.0469393 0.0375860 1.249 0.2121 d_X 0.0279278 0.0381836 0.7314 0.4648 Mean dependent var 0.048201 S.D. dependent var 0.992343 Sum squared resid 686.8249 S.E. of regression 0.992674 R-squared 0.000767 Adjusted R-squared -0.000667 F(1, 697) 0.534957 P-value(F) 0.464776 Log-likelihood -985.6969 Akaike criterion 1975.394 Schwarz criterion 1984.493 Hannan-Quinn 1978.911 rho 0.036719 Durbin-Watson 1.924188

Pendeteksian Stasioneritas Secara grafis  Dengan melihat plot deret waktu Adanya pola naik atau turun adalah indikator bahwa deret tidak stasioner Rata – rata mengalami perubahan seiring waktu

Plot deret waktu dari GDP UK (setiap kuartal)

Pendeteksian Stasioneritas Autokorelasi adalah fungsi dari time lag atau perbedaan waktu antar dua pengamatan Fungsi autokorelasi adalah autokorelasi yang dihitung untuk beberapa time lag, k = 0, 1, 2, … Plot antara autokorelasi dan time lag disebut dengan korrelogram.

Pendeteksian Stasioneritas Autokorelasi sampel pada lag ke – k dihitung berdasarkan:

Pendeteksian Stasioneritas Proses dikatakan stasioner jika pengamatan pada satu periode waktu tidak berkorelasi dengan pengamatan pada periode yang lain Autokorelasi bernilai 1 pada time lag 0 (korelasi dengan dirinya sendiri) dan tidak nyata pada time lag yang lainnya Keberartian autokorelasi sampel pada time lag tertentu diiuji berdasarkan sifat: di mana T adalah total banyaknya pengamatan

Pendeteksian Stasioneritas Selang kepercayaan 95% bagi autokorelasi sampel adalah: Autokorelasi pada time lag ke – k dikatakan tidak nyata jika masih berada pada selang tersebut.

Korrelogram data GDP UK

Pendeteksian Stasioneritas Selain dari selang kepercayaan, dapat pula dilakukan uji secara serempak untuk autokorelasi sampai dengan time lag maksimum (m) uji Ljung Box Uji tersebut juga dipakai untuk mendeteksi apakah sisaan suatu model sudah bersifat acak  white noise Statistik uji yang digunakan:

Autocorrelation function for GDP LAG ACF PACF Q-stat. [p-value] 1 0.9809 *** 0.9809 *** 171.2683 [0.000] 2 0.9615 *** -0.0149 336.8009 [0.000] 3 0.9422 *** -0.0099 496.6655 [0.000] 4 0.9224 *** -0.0223 650.7744 [0.000] 5 0.9028 *** -0.0042 799.2773 [0.000] 6 0.8833 *** -0.0089 942.2665 [0.000] 7 0.8637 *** -0.0099 1079.8210 [0.000] 8 0.8447 *** 0.0015 1212.1603 [0.000] 9 0.8261 *** 0.0008 1339.4887 [0.000] 10 0.8074 *** -0.0113 1461.8645 [0.000] 11 0.7885 *** -0.0163 1579.2945 [0.000] 12 0.7699 *** -0.0026 1691.9425 [0.000] 13 0.7517 *** -0.0008 1799.9862 [0.000] 14 0.7330 *** -0.0234 1903.3570 [0.000] 15 0.7146 *** -0.0033 2002.2105 [0.000] 16 0.6960 *** -0.0150 2096.5785 [0.000] 17 0.6779 *** 0.0014 2186.6583 [0.000] 18 0.6604 *** 0.0079 2272.7152 [0.000] 19 0.6438 *** 0.0105 2355.0212 [0.000] 20 0.6278 *** 0.0048 2433.7817 [0.000] 21 0.6124 *** 0.0069 2509.2167 [0.000] 22 0.5971 *** -0.0072 2581.4080 [0.000]

Pendeteksian Stasioneritas Dapat pula dilakukan dengan uji unit root  Uji Dickey Fuller Contoh pada data GDP UK (yang tidak stasioner) Pengujian dilakukan dengan asumsi bahwa deret tersebut adalah random walk tanpa pergeseren (drift )  model dengan trend untuk time lag 1 tanpa intersep Yt = β1Yt–1 + ut

Uji DF pada data GDP UK Dickey-Fuller test for GDP sample size 174 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.045 estimated value of (a - 1): 0.00585119 test statistic: tau_nc(1) = 8.02815 p-value 1 H0 tidak dapat ditolak, yang berarti bahwa deret tersebut mempunyai unit root atau random walk  tidak stasioner

Transformasi bagi Nonstationary Time Series Jika deret waktu mempunyai unit root (tidak stasioner) maka pembeda pertamanya akan bersifat stasioner Jika ditemui deret waktu dengan sifat tersebut transformasi supaya stasioner  pembedaan pertama

Plot deret Waktu Bagi Pembedaan Pertama GDP UK

Kointegrasi Regresi yang diterapkan pada dua deret yang tidak stasioner (X maupun Y) dapat menghasilkan spurious regression Misalkan masing – masing deret mempunyai unit root atau bersifat terintegrasi pada ordo 1  I(1) Galat (ut ) regresi Yt terhadap Xt kombinasi linier dari dua deret I(1). Orde integrasi dari galat ≤ 1 Jika dihasilkan galat yang bersifat I(0) (stasioner) maka kedua deret tersebut dikatakan ber – kointegrasi Regresi yang dihasilkan bukan lagi spurious regression

Kointegrasi Kointegrasi terjadi jika dua deret tersebut memang mempunyai hubungan fungsional secara terapan Kecenderungan/trend yang terjadi pada deret Xt mempunyai pola yang sama dengan yang terjadi pada deret Yt Kombinasi linier dari deret – deret dengan sifat tersebut dapat menghilangkan sifat ketidastasioneritasan

Pengujian Kointegrasi Pengujian unit root pada setiap deret Yt maupun Xt Menduga parameter model regresi Yt terhadap Xt Mendapatkan sisaan model Menguji unit root pada sisaan Dapat disimpulkan bahwa keduanya ber-kointegrasi jika: Uji unit root pada deret Yt dan Xt menyimpulkan H0 tidak ditolak Uji unit root pada sisaan menyimpulkan H0 ditolak Uji yang digunakan pada masing – masing uji unit root adalah uji DF Secara keseluruhan dengan memberikan koreksi pada statistik uji, DF uji yang digunakan adalah uji Engle – Granger (EG).

Contoh Kasus Konsumsi dan Pendapatan Secara a priori konsumsi memang dipengaruhi oleh pendapatan Akan tetapi jika data yang teramati adalah data deret waktu (mis: per kuartal) maka setiap deret menunjukkan sifat stochastic trend  tidak stasioner  I(1) Masing – masing deret memiliki trend yang serupa

Deret waktu Konsumsi setiap Kuartal

Deret waktu Pendapatan setiap Kuartal

Regresi dari Konsumsi terhadap Pendapatan ^PCE = -171 + 0.967*PDI (22.9) (0.00807) T = 88, R-squared = 0.994 (standard errors in parentheses) Hasil uji unit root bagi Konsumsi (terima H0) Augmented Dickey-Fuller test for PCE including one lag of (1-L)PCE (max was 1) sample size 86 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.036 estimated value of (a - 1): 0.00512264 test statistic: tau_nc(1) = 4.87711 asymptotic p-value 1

Regresi dari Konsumsi terhadap Pendapatan Hasil uji unit root bagi Pendapatan (terima H0) Dickey-Fuller test for PDI sample size 87 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.031 estimated value of (a - 1): 0.00611493 test statistic: tau_nc(1) = 5.7059 p-value 1

Regresi dari Konsumsi terhadap Pendapatan Hasil uji unit root bagi sisaan (tolak H0) Augmented Dickey-Fuller test for uhat2 including one lag of (1-L)uhat2 (max was 1) sample size 86 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.019 estimated value of (a - 1): -0.220462 test statistic: tau_nc(1) = -2.82347 asymptotic p-value 0.004621 Model yang didapatkan bukan spurious regression