Aljabar Boolean Fungsi dan Ekspresi Boole

Definisi Aljabar boolean merupakan aljabar yang terdiri atas suatu himpunan dengan dua operasi biner (binary) “∨” dan “∧”, elemen 0 dan 1, dan satu operasi uner (unary) yakni komplemen dengan sifat yang berlaku untuk seluruh x, y, dan z dalam himpunan tersebut, seperti berikut : Logika Informatika 01/06/2018

x ∨ 0 = x dan x ∧ 1 = x (Hk. identitas) x ∨ x = 1 dan x ∧ x = 0 (Hk. dominasi) (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) dan (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) (Hk. asosiatif) x ∨ y = y ∨ x dan x ∧ y = y ∧ x (Hk. komutatif) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) dan x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) (Hk. distributif) Logika Informatika 01/06/2018

Operasi Aljabar Boolean menyediakan operasi dan aturan untuk bekerja dengan himpunan {0, 1} 3 buah operasi : komplemen Boolean penjumlahan Boolean perkalian Boolean Logika Informatika 01/06/2018

Komplemen Boolean Komplemen Boolean dituliskan dengan bar / garis atas / apostrof dengan aturan sebagai berikut : 0 = 1 dan 1 = 0 , atau x’ = y (dalam bentuk variabel) Logika Informatika 01/06/2018

Aturan Penjumlahan Boolean dituliskan dengan + atau OR (‘V’) , mempunyai aturan sebagai berikut : 1 + 1 = 1 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0 Logika Informatika 01/06/2018

Aturan Penjumlahan Boolean dituliskan dengan + atau OR (‘V’) , mempunyai aturan sebagai berikut : 1 + 1 = 1 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0 Logika Informatika 01/06/2018

Aturan Sedangkan perkalian Boolean yang dituliskan dengan “⋅” atau AND (‘Λ’) , mempunyai aturan sebagai berikut : 1 ⋅ 1 = 1 1 ⋅ 0 = 0 0 ⋅ 1 = 0 0 ⋅ 0 = 0 Logika Informatika 01/06/2018

Aksioma Untuk Aljabar Boolean Dengan aljabar boolean dimaksudkan suatu sistem yang dibentuk oleh suatu himpunan dengan dua operator biner (. dan +), satu operasi singular (yang diberi notasi ’ ), dan dua elemen khusus (0 dan 1) sedemikian rupa sehingga membentuk aksioma : Logika Informatika 01/06/2018

Jawab 1 x+y=y+x Komutatif 2 x.y=y.x 3 x.(y+z)=x.y+x.z Distributif 4 5 x+0=x Identitas 6 x.1=x 7 x+x’=1 x+y=1 Komplemen 8 x.x’=0 x.y=0 Logika Informatika 01/06/2018

Pembuktian Sifat Boolean Contoh 1 Bila y komplemen dari x, maka menurut aksioma (7) dan (8) berlaku x+y=1 dan x.y=0 Bila x+y=1 dan x.y=0 maka : y =y+0 (aksioma 5) =y+(x.x’) (aksioma 8) =(y+x).(y+x’) (aksioma 1 dan 4) =1.(y+x’) (diketahui) =(y+x’).1 (aksioma 2) = y+x’ (aksioma 6)  y = y+x’ Logika Informatika 01/06/2018

Lanjutan Bila x+y=1 dan x.y=0 maka x’ =x’+0 (aksioma 5) =x’+(x.y) (diketahui) =(x’+x).(x’+y) (aksioma 1 dan 4) =1.(x’+y) (aksioma 7) =(x’+y).1 (aksioma 2) = x’+y (aksioma 6) = y+x’ (aksioma 1) = y (lihat bag 1 halaman sebelumnya) Logika Informatika 01/06/2018

Lanjutan Sehingga terbukti y=x’ (atau y adalah komplemen dari x) Dari dua penjabaran diatas terbukti bahwa y komplemen x jika dan hanya jika x+1=y dan x.y=0 Logika Informatika 01/06/2018

Aksioma Aljabar Boolean Hukum Identitas x+0=x x.1=x Hukum idempoten x+x=x x.x=x Hukum Komutatif x+y=y+x x.y=y.x Hukum komplemen x+x’=1 x.x’=0 Hukum dominasi x.0=0 x+1=1 Hukum Distributif x+(y.z)=(x+y).(x+z) x.(y+z)= (x.y)+(x.z) Hukum Involusi (x’) ’=x Hukum penyerapan x+(x.y)=x x.(x+y)=x Hukum 0/1 0’=1 1’=0 Hukum asosiatif x+(x+y)=(x+x)+y x.(x.y)=(x.x).y Hukum De Morgan (x+y)’=x’.y’ (xy)’=x’+y’ Logika Informatika 01/06/2018

Pembuktian Sifat Boolean Contoh 2 Idempoten Untuk setiap x dalam aljabar boolean maka: x.x=x dan x+x=x x =x.1 identitas = x.(x+x’) komplemen = x.x+x.x’ distributif = x.x+0 komplemen = x.x identitas/terbukti  x=x.x idempoten Logika Informatika 01/06/2018

Lanjutan Idempoten Untuk setiap x dalam aljabar boolean maka: x.x=x dan x+x=x x =x+0 identitas = x+(x.x’) komplemen = x+x.x+x’ distributif = (x+x).1 komplemen = x+x identitas -> terbukti  x=x+x idempoten Logika Informatika 01/06/2018

Pembuktian Sifat Boolean Contoh 3 Pembuktian Hukum Idempoten: x+x = (x+x)(1) identitas = (x+x)(x+x’) komplemen = x+(x+x’) asosiatif = x+0 komplemen = x identitas Logika Informatika 01/06/2018

Pembuktian Sifat Boolean Contoh 4 Hukum dominasi x.0=0 x+1=1 Pembuktian H.Dominasi: x+1 = x+(x+x’) komplemen = (x+x)+x’ asosiatif = x+x’ Idempoten = 1 komplemen Logika Informatika 01/06/2018

Pembuktian Sifat Boolean Contoh 5 Hukum penyerapan x+(x.y)=x x.(x+y)=x Hukum Penyerapan x.(x+y) = x.x+x.y distributif = x+(x.y) idempoten = x+0 komplemen = x identitas -> terbukti Logika Informatika 01/06/2018

Dualitas Prinsip dualitas Misalkan S adalah kesamaan tentang aljabar boolean yang melibatkan operasi +, . , dan komplemen, maka S*diperoleh dengan cara mengganti : . dengan + + dengan . 1 dengan 0 0 dengan 1 Logika Informatika 01/06/2018

Dualitas Dual dari ekspresi Boolean didapat dengan menukarkan penjumlahan dengan perkalian dan menukarkan 0 dengan 1. Contoh : Dual dari x(y + z) adalah x+y⋅z Dual dari x.1+(y+z) adalah ( x+0 )( y.z ) Logika Informatika 01/06/2018

CONTOH DUALITAS Hukum Komutatif x+y=y+x x.y=y.x Hukum Komutatif Dual x.y=y.x x+y=y+x Hukum Distributif a+(b.c)=(a+b).(a+c) a.(b+c)= (a.b)+(a.c) Hukum Distributif Dual a.(b+c)= (a.b)+(a.c) a+(b.c)= (a+b)(a+c) Logika Informatika 01/06/2018

End of MODULE