METODA SIMPLEX

Pendahuluan Programasi linear : Suatu model optimisasi persamaan linear yang berhubungan dengan kendala-kendala linear yg dihadapi. Masalah programasi linier : Masalah pencarian nilai-nilai optimum (maksimum dan minimum).

Tahapan Penyelesaian Awal Simplex Standarisasi rumusan model Menambahkan “variabel senjang” (slack variabel) pada fungsi kendala yg bertanda ≤ Mengurangkan “variabel surplus” (surplus variabel) pada fungsi yg bertanda ≥

Fungsi-fungsi kendala yg standar a11x1 + a12x2 + ……+ a1nxn ± s1 = b1 a21x1 + a22x2 + ……+ a2nxn ± s2 = b2 am1x1 + am2x2 + ……+ amnxn ± sm = bm Ringkasnya : n ∑ aijxj = bj dimana i = 1,2,……..,m j = 1

Hasil perhitungan disajikan dalam bentuk tablo (tabel matriks) Dalam metode simplex dikenal dua macam model penyajian tablo, yaitu: Tablo berkolom variabel dasar Tablo berbaris cj – zj

Simplex dgn Tablo Berkolom Variabel Dasar Optimumkan z c1x1 c2x2 ….cnxn = 0 Terhadap a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn ± s1 = b1 a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn ± s2 = b2 am1x1 + am2x2 + …+ amnxn ± sm = bm

Bentuk Tablonya VD z x1 x2 …. xn s1 s2 …. sn S 1 c1 c2 …. cn 0 0 …. 0 s1 s2 sm a11 a12 …. a1n 1 0 …. 0 a21 a22 …. a2n 0 1 …. 0 am1 am2 …. amn 0 0 …. 1 b1 b2 bm Pers Z Pers s1 Pers s2 Pers sm Matriks utama Am x n Matriks satuan In x n

Keterangan : Kolom variabel dasar (VD) : Variabel-variabel yg nilainya ditunjukkan oleh konstanta-konstanta yg bersesuaian di kolom S. Kolom z Sebagai “pelengkap” yg isinya selalu sama (1,0,0,….0) 3. Kolom-kolom variabel : Berisi koefisien-koefisien dari masing-masing variabel dlm persamaan yg bersesuaian

Kolom S : “Solution” ini berisi nilai-nilai ruas kanan dari persamaan implisit yg terdapat didlm model, baik persamaan fungi tujuan maupun persamaan fungsi kendala.

Langkah-langkah pengerjaan Rumuskan dan standarisasi modelnya Bentuk tablo pertama dgn menetapkan semua variabel semu sebagai variabel dasar , dan (semua variabel asli sbg variabel adasar) Tentukan satu “variabel pendatang” (entering variable) diantara variabel-variabel adasar yg ada untuk dijadikan variabel dasar dlm tablo berikutnya

Variabel pendatang : variabel adasar yg nilainya pada baris-z paling negatif dalam kasus maksimisasi atau paling positif dalam kasus minimisasi. 4. Tentukan satu “variabel perantau” (leaving variable) diantara variabel-variabel dasar yg ada, untuk menjadi variabel adasar dlm tablo berikutnya. Variabel perantau : variabel dasar yg memiliki “rasio solusi” dgn nilai positif terkecil.

5. Bentuk tablo berikutnya dgn memasukkan variabel pendatang ke kolom VD dan mengeluarkan variabel perantau dari kolom VD, serta lakukan transformasi baris-baris tablo, termasuk baris-z. Baris kunci baru = baris kunci lama : unsur kunci Baris baru = baris lama – (unsur pd kolom kuncinya x baris kunci baru)

6. Lakukan pengujian optimalitas 6. Lakukan pengujian optimalitas. Jika semua koefisien adasar pada baris-z sudah tidak ada lagi yg negatif (untuk kasus maksimisasi; atau sudah tidak ada lagi yg positif untuk kasus minimisasi) penyelesaian sudah optimal, tdk perlu dibentuk tablo selanjutnya. Jika masih, ulangi langkah ke-3 sampai ke-6!

Contoh kasus Masalah yg dihadapi oleh PT “Double-X” : Maksimumkan z = 25x1 + 15x2 Terhadap 3x1 + 3x2 ≤ 24 … (kendala masukan K) 2x1 + 4x2 ≤ 20 … (kendala masukan L) 3x1 ≤ 21 … (kendala masukan M) x1, x2 ≥ 0

Model standarnya : Maksimumkan z 25x1 15x2 = 0 Terhadap 3x1 + 3x2 + s1 = 24 2x1 + 4x2 + s2 = 20 3x1 + s3 = 21 x1,x2,s1,s2,s3 ≥ 0

Tablo I VD z x1 x2 s1 s2 s3 S 1 -25 -15 0 0 0 s1 s2 s3 3 1 0 0 4 0 1 0 -25 -15 0 0 0 s1 s2 s3 3 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 0 1 24 20 21 Pers Z Pers s1 Pers s2 Pers s3

Pendatang Plg negatif VD z x1 x2 s1 s2 s3 S 1 -25 -15 0 0 0 s1 s2 s3 Diulangi VD z x1 x2 s1 s2 s3 S 1 -25 -15 0 0 0 s1 s2 s3 3 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 0 1 24 20 21 r.s = 8 r.s = 10 r.s = 7 (terkecil) Unsur kunci Perantau

Transformasi baris kunci (x1 menggantikan s3) 1 1/3 7

Transformasi baris-z Transformasi baris-s1 Transformasi baris-s2 1- (-25) 0 = 1 -25 - (-25) 1 = 0 -15-(-25) 0 = -15 0- (-25) 0 = 0 0- (-25)(1/3) = 25/3 0- (-25) 7 = 175 0 – (3) 0 = 0 3 – (3) 1 = 0 3 – (3) 0 = 3 1 – (3) 0 = 1 0 – (3)(1/3) = -1 24 – (3) 7 = 3 0 – (2) 0 = 0 2 – (2) 1 = 0 4 – (2) 0 = 4 1 – (2) 0 = 1 0–(2)(1/3) = -2/3 20 – (2) 7 = 6

Tablo II Unsur Kunci VD z x1 x2 s1 s2 s3 S 1 0 -15 0 0 25/3 175 s1 s2 0 -15 0 0 25/3 175 s1 s2 x1 0 3 1 0 -1 0 4 0 1 -2/3 1 0 0 0 1/3 3 6 7 r.s = 1 r.s = 1,5 r.s = ∞

Transformasi baris kunci (x2 menggantikan s1) 1 1/3 -1/3

Transformasi baris-z Transformasi baris-s2 Transformasi baris-x1 1- (-15) 0 = 1 0 - (-15) 0 = 0 -15-(-15) 1 = 0 0 - (-15) 1/3 = 5 25/3-(-15)(-1/3) = 10/3 175 - (-15) 1= 190 0 – (4) 0 = 0 4 – (4) 1 = 0 0 – (4) 1/3 = -4/3 1 – (4) 0 = 1 -2/3 - (4)(-1/3) = 2/3 6 – (4) 1 = 2 0 – (0) 0 = 0 1 – (0) 0 = 1 0 – (0) 1 = 0 0 – (0) 1/3 = 0 1/3 – (0)(-1/3) = 1/3 7 – (0) 1 = 7

Sudah tdk ada yg negatif Tablo III Sudah tdk ada yg negatif VD z x1 x2 s1 s2 s3 S 1 0 0 5 0 10/3 190 x2 s2 x1 0 1 1/3 0 -1/3 0 0 -4/3 1 2/3 1 0 0 0 1/3 2 7 Tablo yg optimal

Penafsiran Tablo Optimal z = 190, x2 = 1, s2 = 2 dan x1 = 7 optimalitas dicapai pada kombinasi produksi 7 unit x1, dan 1 unit x2, dengan profit maksimum 190, dan terdapat sisa masukan L yg tidak terpakai (dilambangkan oleh s2, variabel senjang pada fungsi kendala L) sebanyak 2 unit.

2. s1 dan s2 tdk tercantum di kolom VD pada penyelesaian optimal semua masukan yg dilambangkan K dan M habis terpakai, tdk ada yg tersisa. 3. Variabel yg tidak tercantum di dalam kolom VD masukan yg diwakilinya merupakan “sumberdaya langka” (scarce resources) . 4. Variabel semu yg tercantum dlm kolom VD dan nilainya di kolom S bkn nol merupakan “sumberdaya berlebih” (abundant resources)

5. Nilai dual (dual value) yg dicerminkan oleh koefisien variabel semu pd baris z, pada kolom-kolom tersebut adalah s1, s2, dan s3 masing-masing 5, 0, dan 10/3.

Selesai………