Pertemuan 10 ReLASI DAN FUNGSI

Sub Topik Invers Komposisi

Pertemuan sebelumnya

Refleksif Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x,x)  R untuk setiap x  X Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop pada setiap ujungnya. Contoh : X = {1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,2),(2,3), (2,4),(3,3),(3,4), (4,4)} 10/26/2014

Tidak Refleksif Salah satu atau lebih vertex tidak mempunyai loop Contoh : X = {1,2,3,4} R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)} 10/26/2014

Transitif Penentuan sebuah relasi R transitif : 1. jika (x,y) dan (y,z)  R, maka (x,z)  R 2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R Contoh : R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}  tidak transitif R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)}  tidak transitif R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}  tidak transitif R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}  transitif

Simetris Contoh : X = {1,2,3,4} R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)} (2,3) di R dan (3,2) di R 10/26/2014

Antisimetris Contoh : X = {1,2,3,4} (2,3)  R tetapi (3,2)  R 10/26/2014

Latihan Jika diketahui X = {1,2,3,4} Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau tidak : R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)} R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)} R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)} R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)} R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)}

Invers Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka invers dari R adalah relasi dari Y ke X Notasi : R-1 Invers didefinisikan : R-1 = {(y,x) | (x,y)  R} Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi oleh” Contoh : R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}

Komposisi (Composite) Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2 adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1 dan R2 adalah relasi dari X ke Z Notasi : R2  R1 Komposisi didefinisikan : R2  R1 = {(x,z) | (x,y)  R1 dan (y,z) R2 untuk beberapa y  Y} Contoh : R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} R2  R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Relasi Keekuivalenan Misalkan S adalah partisi dari himpunan X. Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa untuk beberapa himpunan S di S, baik x maupun y berada di S, maka R refleksif, simetris dan transitif Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan transitif pada himpunan X disebut relasi keekuivalenan pada X (equivalence relation on X)

Relasi Keekuivalenan (Cont.) Contoh : S = {{1,3,5},{2,6},{4}} X = {1,2,3,4,5,6} R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2), (2,6),(6,2),(6,6),(4,4)} Digraf relasi dari R harus : Refleksif : terdapat sebuah loop pada setiap ujungnya Simetris : untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat rusuk berarah dari w ke v Transitif : jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk berarah dari x ke z

Relasi Keekuivalenan (Cont.)

Klosur Relasi Klosur relasi terjadi jika : Relasi tidak refleksif menjadi refleksif  Klosur refleksif (Reflexive Closure) Relasi tidak simetris menjadi simetris  Klosur simetris (Symmetric Closure) Relasi tidak transitif menjadi transitif Klosur transitif (Transitive Closure)

Klosur refleksif (Reflexive Closure) Klosur refleksif dari R adalah : R   , dimana  = {(a,a)|a  A} Contoh : A = {1, 2, 3} R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}  tidak refleksif Supaya bersifat refleksif maka  = {(1,1), (2,2), (3,3)} Sehingga klosur refleksif dari R adalah : R   = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}  (1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} R = {(a,b)|a  b} pada himpunan bilangan bulat Maka klosur refleksif dari R adalah : R   = {(a,b)|a  b}  {(a,a)|a  Z} = {(a,b)|a  Z}

Klosur Simetris (Symmetric Closure) Klosur simetris dari R adalah : R  R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a  R} Contoh : A = {1, 2, 3} R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)} Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)} Sehingga klosur simetris adalah : R  R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}  {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)} = {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)} R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulat Maka klosur simteris dari R adalah : R  R-1 = {(a,b)|a habis membagi b}  {(b,a)|b habis membagi a} = {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a}

REFERENSI Rinaldi Munir, 2005, “Matematika diskrit”, INFORMATIKA Bandung 10/26/2014