KONDUKTOR, DIELEKTRIK, DAN KAPASITANSI Nama : Candra Mebby Oka NIM : 135060301111007 Kelas : G Jurusan : Teknik Elektro

ARUS DAN KERAPATAN ARUS Muatan listrik yang bergerak membentuk arus. Satuan arus ialah ampere (A) yang didefinisikan sebagai laju aliran muatan yang melalui titik acuan (atau menembus suatu bidang acuan) sebesar satu coulomb per detik. Arus diberi lambang I, maka Pertambahan arus I yang melalui pertambahan permukaan S yang normal pada kerapatan arus ialah

Dan dalam hal kerapatan arusnya tidak tegak lurus terhadap permukaan. Arus total diperoleh dengan mengintegrasi arus resultannya ialah

Jika kita ambil limit terhadap waktu, kita dapatkan Dengan vx menyatakan komponen kecepatan v. Jika dinyatakan dalam kerapatan arus, kita dapatkan. Dan umumnya

KEMALARAN ARUS Arus yang menembus permukaan tertutup ialah Dan prinsip kekekalan muatan menyatakan

bentuk diferensial atau bentuk titiknya diperoleh dengan mengubah integral permukaan menjadi integral volume melalui teorema divergensi Dan menyatakan muatan yang terlingkungi Qi dengan integral volume dari kerapatan muatan Apabila permukaannya tetap maka turunannya muncul dalam tanda integral .

Maka Dan bentuk titiknya kita perhatikan kerapatan arus yang arahnya keluar secara radial

KONDUKTOR LOGAM Dalam medan E, elektron yang bermuatan Q = -e akan mengalami gaya F = -eE Mobilitas diukur dalam m2 per V-detik Dapat diperoleh Hubungan antara J dan E J = σE

Konduktivitas dinyatakan dalam kerapatan muatan dan mobilitas elektron Karena serbasama maka Dan Atau V = EL

Jadi atau

Resistansi dari tabung adalah Resistansi dalam medan yang tidak serbasama

SIFAT KONDUKTOR DAN SYARAT BATAS Medan elektronikanya Sepanjang lintasan tertutup abcda, maka integralnya Dengan E=0dalam konduktor, didapatkan

Karena h dapat diabaikan, maka Dan menghasilkan Et = 0 Dengan memakai hukum Gauss Dan diintegrasikan pada permukaan yang berbeda Kedua suku terakhir didapati = 0, maka atau DN = ρS

Syarat batas yang dicari untuk batas ruang hampa konduktor dalam elektrostatika Untuk meringkas prinsip yang dipakai pada konduktor dalam medan elektrostatik, kita nyatakan bahwa : 1. Intensitas medan listrik statik dalam konduktor aialah nol 2. Intensitas medan listrik statik pada permukaan konduktor mempunyai arah normal terhadap permukaan 3. Permukaan konduktor merupakan permukaan sepotensial

METODE SANTIR Dua muatan yang sama besar tetapi tandanya berlawanan dapat diganti dengan sebuah muatan dan bidang datr konduktor tanpa mengubah medan diatas permukaan V = 0 +Q -Q +Q +Q Bidang datar konduktor V=0 Permukaan sepotensial V=0 -Q

Suatu konfigurasi bidang datar konduktor dapat diganti oleh konfigurasi muatan yang diketahui tersebut ditambah dengan konfigurasi santirnya, tanpa bidang konduktor tersebut +1 +1 ρL ρL Bidang Datar Konduktor V=0 Permukaan Sepotensial V=0 +1 -ρL -4

SEMIKONDUKTOR Pada bahan semikonduktor intrinsik seperti germanium atau silikon murni ada dua jenis pembawa arus yaitu elektron dan lubang (hole). Elektronnya datang dari bagian atas pita valensi penuh yang menerima energi yang cukup (biasanya energi termal) untuk menyeberangi pita terlarang yang relatif kecil ke pita produksi. Jurang pita energi yang terlarang biasanya dalam orde satu elektronvolt. Kekosongan yang ditinggalkan elektron tersebut menjadi tingkat energi yang tak terisi pada pita valensi yang dapat juga berpindah dari satu atom ke atom lainnya dalm kristal. Kekosongan ini disebut lubang , banyak sifat semikonduktor dapat digambarkan dengan memperlakukan lubang tersebut seakan-akan bermuatan positif e dengan mobilitas μh dan masa efektif yang hampir sama dengan masa efektif elektron. Kedua jenis pembawa ini bergerak dalam medan listrik dan arah geraknya berlawanan ; jadi masing-masing akan memberi sumbangan pada arus total. Konduktivitasnya merupakan fungsi dari konsentrasi lubang, konsentrasi elektron dan mobilitas

Untuk germanium murni, mobilitas elektronnya 0,36 dan mobilitas lubangnya 0,17 ; sedangkan untuk silikon, mobilitasnya ialah 0,12 dan 0,025. Satuannya adalah meter persegi per volt detik dan besarnya berkisar antara 10 sampai 100 kali mobilitas dalam alumunium, tembaga, perak dan konduktor logam lainnya. Mobilitas tersebut berlaku untuk temperatur 300 K. Konsentrasi elektron dan lubang sangat tergantung pada temperatur. Pada 300 K, kerapatan muang ruang elektron dan lubang adalah 3,0 C/m3 pada germanium intrinsik ; sedangkan pada silikon, besarnya 0,0024 C/m3. Harga tersebut menyebabkan konduktivitas sebesar 1,6 Ω/m pada germanium dan pada silikon 0,0035 Ω/m. Bila temperaturnya naik, mobilitasnya turun, tetapi kerapatan muatan naik sangat cepat. Hasilnya, konduktivitas bertambah dengan faktor 10 bila temperaturnya naik dari 300 ke 330 K dan berkurang dengan faktor 10 ketika temperaturnya turun dari 300 ke sekitar 275 K. Konduktivitas semikonduktor intrinsik bertambah terhadap temperatur, sedangkan konduktivitas konduktor logam menurun terhadap temperatur. Semikonduktor intrinsik juga memenuhi hukum Ohm bnetuk titik ; ini berarti konduktivitasnya hampir tetap terhadap kerapatan arus dan terhadap arah kerapatan arus tersebut. Banyaknya pembawa muatan dan konduktivitas dapat dinaikkan berlipat ganda dengan menambah ketidakmurniannya. Bahan donor menyediakan elektron tambahan dan membentuk semikonduktor tipe-n (jenis-n) , sedangkan akseptor menyediakan lubang

tambahan dan membentuk semikonduktor tipe-p (jenis-p) tambahan dan membentuk semikonduktor tipe-p (jenis-p). Proses seperti ini dikenal sebagai “doping” . Dan konsentrasi donor pada silikon hanya 1 bagian dalam 107 , tetapi menyebabkan penambahan konduktivitas dengan faktor 105. Harga konduktivitas berubah sangat besar dari bahan isolator ke semikonduktor terus ke konduktor yang baik. Jika dinyatakan dalam ohm per meter, harga σ berkisar 10-17 untuk kuatrz yang dilebur, 10-7 untuk isolator plastik, dam kira-kira 1 untuk semikonduktor sampai 108 untuk konduktor logam pada temperatur kamar. Harga-harga tersebut meliputi jangkauan sampai orde sebesar dua puluh lima kali.

SIFAT BAHAN DIELEKTRIK Kedua jenis dwikutub yang digambarkan dengan momen dwikutub p seperti yang dikembangkan dalam pasal 4.7, persamaan (37) Dengan Q menyatakan muatan fositif dari pasangan muatan yang membentuk dwikutub dan d merupakan vektor dari muatan negatif dengan muatan positif. Jika terdapat n dwikutub per satuan volume dan kita meninjau volume ∆v, maka ada n ∆v dwikutub. Dan momen dwikutubnya didapat dengan menjumlahkannya secara vektor, polarisasi P didefinisikan sebagai momen dwikutub per satuan volume, Dengan satuan coulomb per meter persegi.

Jadi karena ada n molekul/m3 muatan total neto yang melewati unsur permukaan dalam arah ke atas ialah nQd cos  S, atau dengan subskrip pada Qb untuk mengingatkan kita bahwa muatannya terikat (bound) bukan muatan bebas. Dinyatakan dalam pengutuban (polarisasi), kita peroleh

Jika ditafsirkan S sebagai unsur dari permukaan tertutup dalam bahan dielektrik, maka arah S adalah keluar, dan pertambahan neto muatan terikat di dalam permukaan tertutup dapat kita peroleh dengan integrasi Mula-mula kita tulis hukum Gauss dalam fungsi Eo E dan QT muatan total yang terlingkung, baik yang terikat maupun yang bebas.

Dengan kombinasikan ketiga persamaan terakhir, kita dapatkan rumusan untuk muatan bebas yang terlingkung. Sekarang kita dapat mendefinisikan D dalam bentuk yang lebih umum daripada dalam Bab 3.

Di situ terlihat ada penambahan suku pada D jika ada pengutuban dalam bahan. Jadi Q menyatakan muatan bebas yang terlingkung Dengan memakai beberapa bentuk kerapatan muatan ruang, kita dapatkan

Dengan pertolongteorema divergensi, kita dapat mengalihkan (20), (21) dan (24) kebentuk yang setara dengan hubungan divergensi, Hubungan linear antara P dan E adalah

Dengan menggunakan hubungan dalam (23), kita dapatkan Ekspresi di dalam kurung sekarang didefinisikan sebagai Ini adalah besaran tak berdimensi lainnya dan disebut sebagai permitivitas relatif, atau tetapan dielektrik bahan. jadi.

Dengan Kita dapatkan bahwa tiap-tiap komponen D dapat merupakan suatu fungsi dari setiap komponen E dan D = E menjadi suatu persamaan matriks dengan D dan E masing- masing adalah matriks dengan kolom 3 x 1 dan  matriks bujur sangkar 3 x 3. Ekspansi persamaan matriks ini menghasilkan

Ringkasnya, sekarang kita mempunyai hubungan antara D dan E yang bergantung dari bahan dielektrik yang ada. Dengan Kerapatan fluks listrik ini masih berpautan dengan muatan bebas melalui bentuk titik atau bentuk integral hukum Gauss:

SYARAT BATAS BAHAN DIELEKTRIK SEMPURNA Kita tinjau dahulu permukaan batas dua jenis bahan dielektrik yang premitivitasnya 1 dan 2 dan menempati daerah 1dan 2 seperti yang terlihat pada gambar 5. 10. Pertama kita tinjau komponen tangensial dengan memakai

Mengelilingi lintasan tertutup kecil pada ruas kiri persamaan , maka kita dapatkan Kontribusi kecil pada integral garis yang datang dari kompenen normal E sepanjang bagian yang panjangnya h menjadi sangat kecil ketika h mengecil dan lintasan tertutupnya menyempit pada permukaan sehingga Kontribusi kecil pada integral garis yang datang dari komponen normal E sepanjang bagian yang panjangnya h menjadi sangat kecil ketika h mengecil dan lintasan tertutupnya menyempit pada permukaan. Sehingga Etan 1 = Etan 2

hukum tegangan Kirchoff masih berlaku untuk kasus ini hukum tegangan Kirchoff masih berlaku untuk kasus ini. Tentu saja kita sudah memperlihatkan bahwa beda potensial antara dua titik pada perbatasan terpisah sejarak w sama saja di bawah atau di atas perbatasan. Jika intensitas medan listrik tangensial malar melalui perbatasan, maka D tangensial akan tak malar, karena Atau sisinya diambil sangat pendek , dan fluks yang meninggalkan permukaan atas dan bawah ialah

Sehingga . Muatan ini harus sengaja diletakan disitu, sehingga mengimbangi muatan total dalam dan pada badan dielektrik tersebut. kecuali hal khusus maka ia harus menganggup s = 0 pada perbatasan dan Atau komponen normal D harus malar. Sehingga Dan E normal takmalar karena komponen normal D malar Rasio komponen tangensial diberikan

Atau pembagian persamaan ini (35) menghasilkan Dalam gambar 5 Atau pembagian persamaan ini (35) menghasilkan Dalam gambar 5.11 kita anggap Arah E yang dekat dengan perbatasan sama dengan arah D, karena D=E. Besar D dalam daerah 2 didapat dari (35) dan (36) besar E2 ialah

Kedua komponen D dan E yang tangensial keduanya harus nol supaya memenuhi hubungan Dan D = E Akhirnya pemakaian hukum Gauss , D dan E keduanya mempunyai arah yang tegak lurus terhadap permukaan konduktor, serta Dn = ps dan En = ps . syarat batas yang telah kita kembangkan untuk perbatasan ruang bebas- konduktor berlaku juga untuk perbatasan konduktor-dielektrik jika kita mengganti 0 dengan . jadi Dt = Et = 0 DN = EN = S

hukum Omh J = E persamaan kemalaran j dan  berpautan dengan muatan bebas saja , atau Jika mediumnya serbasama sehingga kita pakai persamaan pertama Maxwell untuk mendapatkan

KAPASITANSI KAPASITANSI C = nyatakan Q sebagai integral permukaan pada konduktor positif, dan kita peroleh Vo dengan membawa satuan muatan positif dari permukaan negatif ke muatan positif.

 menyatakan permitivitas dielektrik serbasama, dan D = PSaz Muatan pada bidang bawah harus positif, DN = Dz = pS Sama dengan kerapatan muatan permukaan di situ. Pada bidang atas, DN = Dz Dan muatan permukaannya negatif dari muatan permukaan pada bidang bawah. Beda potensial antara bidang bawah dan atas ialah Vo =

muatan total pada masing-masing bidang besarnya takberhingga, maka kapasitansinya takberhingga. Jawaban yang praktis diperoleh jika kita tinjau bidang yang luasnya S yang dimensi linearnya jauh lebih besar dari jarak d. medan listrik dan distribusi muatannya hampir serbasama pada setiap titik yang cukup jauh dari pinggiran, dan kontribusi dari daerah pinggir tersebut kepada kapasitas totalnya sangat kecil, hal ini memungkinkan kita untuk menuliskan hasil yang sudah dikenal. Q = PSS Vo = C =

Kapasitansi parsial antara tiap pasangan konduktor Kapasitansi parsial antara tiap pasangan konduktor. Hal ini dibahas secara sangat menarik dalam pekerjaan Maxwell. Akhirnya, energi total yang tersimpan dalam kapasitor ialah WE = Atau merupakan rumusan yang sudah dikenal. Persamaan (45) juga menunjukkan bahwa energi yang tersimpan dalam kapasitor dengan beda potensial tetap akan bertambah jika tetapan dielektrik mediumnya bertambah.

BEBERAPA CONTOH KAPASITANSI contoh pertama kita ambil kabel sesumbu (koaksial) atau kapasitor sesumbu dengan jari-jari dalam a, jari-jari b, dan panjang L, beda potensialnya telah diketahui dari persamaan (11), pasal 4.3 dan kuantitas tersebut dibagi dengan muatan total PLL, jika panjangnya L. jadi, C = tinjau kapasitor bola yang dibentuk oleh dua kulit – bola-konduktor sesumbu berjari-jari a dan b, b > a. rumusan medan listrik telah diperoleh melalui hukum Gauss, Er =

daerah antara kedua bola diisi dengan dielektrik yang permitivitasnya E rumusan beda potensialnya diperoleh dengan melakukan integral garis. Jadi, Vab = Q menyatakan muatan total pada bola dalam, dan kapasitasnya menjadi C = Jika bola luarnya menjadi besar tak berhingga, kapasitansi konduktor bola yang terisolasi, C = 4 Untuk yang berdiameter 1 cm, atau bola sebesar kelereng C = 0,556 pF Dalam ruang hampa.

Dengan menutup bola tersebut dengan lapisan dielektrik yang berbeda yang mempunyai  = 1, berkisar dari r = a ke r = r1, D = Er =Q (a < r < r1) = (r1 < r) Sehingga beda potensialnya menjadi Va – V1 =

Sehingga C = beda potensial antara kedua keping adalah Vo Sehingga C = beda potensial antara kedua keping adalah Vo. Intensitasnya medan listrik dalam kedua daerah tersebut. E2 dan E2, keduanya serbasama dan Vo = E1, d1 + E2 d2. Pada permukaan batas, E normal dan Dn1 = Dn2, atau 1 E1 = 2 E2. Dengan meniadakan E2 dalam hubungan Vo tersebut, kita peroleh E1 = besarnya kerapatan muatan permukaan ialah PS1 =

D1 = D2, besar muatan permukaan pada masing-masing keping sama D1 = D2, besar muatan permukaan pada masing-masing keping sama. Kapasitansinya menjadi C =

KAPASITANSI SALURAN DUA KAWAT pilih R10 = R20 ini berarti kita menempatkan acuan nol pada jarak yang sam dari masing-masing garis. Permukaan ini terletak pada bidang – datar x = 0. Dengan menyatakan R1 dan R2 dalam x, dan y, kita dapatkan V = Pilih permukaan sepotensial V = V1, kita definisikan K1 sebagai parameter takberdiamensi yang merupakan fungsi dari potensial V1. K1 =

Maka: K1 = Setelah pengalian dan pengumpulan suku yang berpangkat sama, kita peroleh x2 – 2ax lengkapkan pangkat kuadratnya, Yang menunjukkan bahwa permukaan sepotensial V = V1 tidak tergantung pada z (atau merupakan tabung) dan memotong bidang xy pada lingkaran yang berjari-jari b, b =

yang berpusat di x = h, y = 0, dengan h = sebuah biadang konduktor berpotensial nol pada x = 0, dan sebuah tabung konduktor berjari-jari b dan berpotensial Vo yang sumbunya terletak pada jarak h dari bidang tersebut di atas. Kita pecahkan dua persamaan terakhir untuk a dan K1 yang dinyatakan dalam b dan h. a = dan Tetapi potensial tabung adalah Vo. jadi (53) menjadi

Sehingga PL = jika diketahui h, b dan Vo Sehingga PL = jika diketahui h, b dan Vo . kita dapat menetukan a, PL dan parameter K1. Kapasitansi antara tabung dan bidang sekarang dapat ditentukan. Untuk panjang L dalam arah z, kita dapatkan C = Atau

Lingkaran hitam pekat dalam gambar 5 Lingkaran hitam pekat dalam gambar 5.17 memperlihatkan penampang lintang tabung berjejari 5 m pada potensial 100 V dalam ruang hampa, dimana sumbunya terletak 13 m dari bidang berpotensial nol. Jadi b = 5. h = 13, Vo = 100 dan secara cepat kita dapatkan lokasi muatan garis setara dari (54). a = m nilai parameter potensial K1 dari (55). K1 = 25 Kekuatan muatan garis setara dari (56), PL = nC/m Dan kapasitas antara tabung dan bidang dari (57) C = pF/m

Kita juga dapat menetukan tabung yang menyatakan permukaan sepotensial 50 V dengan mencari nilai baru untuk K1, h dan b. pertama-tama kita pakai (53) untuk mendapatkan K1 = Maka jejari barunya adalah b = m dan nilai h menjadi h = m tabung ini diperlihatkan dengan lingkaran berwarna dalam Gambar 5.17.

intensitas medan listrik dapat ditemukan dengan mengambil gradien medan potensialnya, seperti pada (52). E = Jadi Dan D = Jika kita evaluasi Dx pada x = h – b , y = 0, kita peroleh Psmaks PS maks =

Untuk contoh kita, PS maks = nC/m2 Dengan cara yang sama PS min = Dx, x = h + b, y = 0, dan PS min = nC/m2 Jadi, PS maks = 2,25 PS min Jika kita pakai (57) untuk soal konduktor dengan b < h, maka C = (b << h)

Pertambahan muatan Q = SL yang berpindah sejarak x dalam waktu t, menimbulkan kerapatan arus yang limitnya Jx = vx.

Kerapatan arus serbasama J dan intensitas medan listrik E pada tabung yang panjangnya L dan luas penampangnya S. di sini V = IR, dengan R = L/S.

RUANG HAMPA Lintasan tertutup dan permukaan Gauss yang sesuai digunakan untuk menentukan syarat batas pada perbatasan konduktor – ruang hampa : Et = 0 dan Dn = ps

y 1 1 2 3 X X2 – Y2 = 3 v = 300 v -1 P(2,-1,3) -2 XY = -2 -3 Bila diberikan titik P (2, -1, 3) dan medan potensial V = 100 (x2 – y2), maka kita dapatkan permukaan sepotensial yang melalui P yaitu x2 – y2 = 3, dan garis medan yang melalui P adalah xy = -2.

+Q +Q -Q +Q +Q PERMUKAAN SEPOTENSIAL v = 0 BIDANG DATAR KONDUKTOR v = 0 -Q (a) (b) (a) Dua muatan yang sama besar tetapi tandanya berlawanan dapat diganti dengan (b) sebuah muatan dan bidang-datar konduktor tanpa mengubah medan di atas permukaan V = 0

-4 -4 +1 +1 ρL ρL BIDANG DATAR KONDUKTOR V = 0 BIDANG DATAR KONDUKTOR V = 0 - ρL -1 +4 (a) Suatu konfigurasi muatan di atas bidang-datar konduktor dapat diganti oleh (b) konfigurasi muatan yang diketahui tersebut ditambah dengan konfigurasi santirnya, tanpa bidang konduktor tersebut.

z z 30 nC/m 30 nC/m BIDANG KONDUKTOR R+ y y P P(2,5,0) -30 nC/m R- x x (a) (b) (a) Sebuah muatan garis di atas bidang konduktor (b) konduktor dihilangkan, dan bayangan muatan garis ditambahkan.

BAHAN DIELEKTRIK ∆s E (a) + - ½ d cos θ (b) (a) unsur pertambahan permukaan S ditunjukkan berada dalam dielektrik dalam medan listrik E. (b) molekul takberkutub membentuk momen dwikutub p dan pengutuban P. ada peralihan neto muatan terikat melewati S.

DN 1 DAERAH 1 ∆S Etan 1 Etan 2 DAERAH 2 DN1 Perbatasan antara dilektrik yang permitivitasnya ε1 dan ε2. Kemalaran Dn diperlihatkan dengan permukaan Gauss di sebelah kanan, dan kemalaran Etan dengan integral sekeliling lintasan tertutup di sebelah kiri.

D1 DN1 ε1 Dtan 1 D2 DN2 ε2 Dtan 2 Pembiasan D pada perbatasan dielektrik. Untuk kasus ini ε1 lebih besar dari ε2 ; E1 dan E2 searah dengan D1 dan D2, dengan D1> D2 dan E1< E2.

PERMUKAAN KONDUKTOR -ρs KERAPATAN PERMUKAAN MUATAN BERSAMA PERMUKAAN KONDUKTOR +ρs Persoalan kapasitor keping-keping kapasitas per satuan luas permukaan ialah e/d.